Публикации
Особенности обучения студентов СПО доказательствам математических утверждений
Всероссийский сборник статей и публикаций института развития образования, повышения квалификации и переподготовки.
Скачать публикацию
Язык издания: русский
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: Особенности обучения студентов СПО доказательствам математических утверждений
Автор: Андреева Анна Викторовна
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: Особенности обучения студентов СПО доказательствам математических утверждений
Автор: Андреева Анна Викторовна
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АМУРСКОЙ ОБЛАСТИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ АМУРСКОЙ ОБЛАСТИ
АМУРСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ
(ГПОАУ АТК)
Доклад
Тема: Особенности обучения студентов СПО доказательствам математических утверждений
г. Свободный, 2021 г.
Особенности обучения студентов СПО доказательствам математических утверждений
Андреева Анна Викторовна, преподаватель математики
ГПОАУ Амурский Технический Колледж
Проблема обучения учащихся доказательству всегда являлась одной из центральных в методике преподавания математики. В настоящее время ее актуальность возросла. Дело в том, что осуществляемый процесс гуманизации образования предполагает направленность обучения на развитие личности, на формирование ее свойств, в частности нравственности, что возможно лишь в контексте обучения доказательству. Обучение доказательству должно быть одной из целей обучения математике и являться составляющей основы конструирования содержания обучения математике в СПО.
Обучение доказательству играет большую роль в развитии дедуктивно-математического мышления и общих мыслительных способностей учащихся.
Несмотря на обилие работ, и рекомендаций по обучению учащихся доказательству, владение соответствующим умение находится на низком уровне. Поэтому проблема обучения доказательству является актуальной.
Основу разработки методики обучения доказательству составляют следующие положения:
обучение доказательству есть обучение анализу доказательства, его воспроизведению, самостоятельному открытию факта, поиску и конструированию его доказательства, а также опровержению предложенных доказательств;
единство логики и эвристики в обучении доказательству;
обучение доказательству – деятельность, имеющая специфическое строение, условия и форму осуществления.
В школьном обучении у ребенка начинает развиваться словесно-логическое мышление.
Словесно-логическое мышление осуществляется с помощью следующих мыслительных действий.
Анализ – мысленное расчленение объекта познания на части с целью установления его свойств и особенностей, взаимосвязей этих частей объекта.
Синтез – мысленное воссоединение отдельных элементов или частей в единое целое.
Сравнение – сопоставление объектов познания с целью нахождения сходства и различий между ними.
Абстрагирование – это мысленное выделение каких-либо существенных свойств и признаков при одновременном отвлечении от всех других свойств и признаков этих объектов. В результате абстрагирования выделенное свойство или признак сам становится предметом мышления.
Обобщение в математике используется в двух различных формах:
эмпирическое обобщение, как мысленное выделение общих свойств в нескольких объектах и объединение их в группы на основе выделенных инвариантов.
научно-техническое обобщение, как мысленное выделение в рассматриваемом объекте с помощью глубокого анализа свойств этого объекта, какого-то существенного свойства в виде общего понятия для целого класса объектов, обладающих выделенным свойствам.
Конкретизация – также может выступать в двух формах:
как мысленный переход от общего к единичному, частному.
как восхождение от абстрактно-общего к конкретно-частному путем выявления различных свойств и признаков этого абстрактно-общего, как наполнение, обогащение абстрактно-общего конкретным содержанием.
Классификация – разделение множества объектов на непересекающиеся части по какому-то основанию – свойству, признаку.
Видом умозаключений являются суждения, выводимые из других суждений: дедуктивные, индуктивные и по аналогии.
Дедукция – это вид умозаключения, когда из некоторых истинных суждений чисто логическим путем, на основе известного общего правила выводится как их непосредственное следствие новое суждение. В обучении математике изложение нового учебного материала обычно производится с помощью дедуктивных рассуждений. Доказательство теорем – это вывод, полученный дедуктивно на основе понятий системы аксиом, определений и условий теоремы. Широкое использование в обучении математике дедуктивных рассуждений способствует развитию у учащихся логического мышления, учит их обосновывать свои решения задач.
Однако сами математические факты и положения открывают, устанавливаются с помощью не дедукции, а большей частью с помощью индукции и аналогии.
Индукция – это переход от единичного знания об определенных предметах данного множества к общему выводу обо всем предмете данного множества. Основой индуктивного вывода являются результаты наблюдений и экспериментов над отдельными предметами данного множества. Однако индуктивное обобщение является лишь гипотезой, справедливость которой должна быть, затем доказана дедуктивно.
Аналогия – вид умозаключения, когда свойства одного предмета переносятся на другой предмет, чем-то подобный первому. Например, для всякого треугольника справедливо, что каждая его сторона меньше суммы двух других сторон. В пространстве треугольнику аналогична треугольная пирамида, поэтому можно предполагать по аналогии, что площадь каждой грани треугольной пирамиды меньше суммы площадей остальных граней. Однако этот вывод нуждается в доказательстве, которое может быть проведено лишь дедуктивно.
Доказательства представляют собой цепочки умозаключений, ведущих от истинных посылок к доказываемым тезисам.
Доказательство включает в себя три основных элемента:
1. Тезис (главная цель доказательства – установить истинность тезиса). Форма выражения тезиса – суждение.
К доказываемому тезису предъявляют следующие требования:
Тезис должен быть сформулирован ясно и определенно.
Тезис должен оставаться неизменным на протяжении всего доказательства.
2. Аргументы доказательства – положения, на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса.
Требования, предъявляемые к аргументам:
Аргументы доказательства должны быть суждениями истинными и доказанными.
Аргументы должны быть такими суждениями, истинность которых доказана независимо от тезиса.
3. Демонстрация – логический процесс взаимосвязи суждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису.
Способы связи аргументов от условия к заключению суждения называют методами доказательства, которые в школьном курсе математики, делятся на прямые и косвенные.
Под обучением доказательству мы понимаем обучение учащихся анализу готовых доказательств, их воспроизведению, самостоятельному открытию факта, поиску и конструированию доказательства, а также опровержению предложенных доказательств.
Огромная роль в самостоятельном поиске доказательств принадлежит умению использовать методы научного познания: аналогию, обобщение, конкретизацию, анализ и т. д.
Р.С. Черкасов в своей книге писал, что математическое доказательство – это доказательство математических предположений или доказательство предположений в рамках какой-нибудь математической теории.
Приемы прямого доказательства:
1) прием преобразования условия суждения (синтетический);
2) прием преобразования заключения суждения: отыскание достаточных оснований справедливости заключения (восходящий анализ); отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждения (нисходящий анализ);
3) прием последовательного преобразования то условия, то заключения суждения.
Приемы косвенного доказательства:
1) метод от противного (истинность доказываемого тезиса устанавливается посредствам опровержения противоречащего ему суждения);
2) разделительный (тезис рассматривается как один из возможных вариантов предложений, когда отвергаются все предложения, кроме одного).
Ознакомить учащихся с доказательством теоремы можно различными путями.
Прием 1. Для изложения доказательства теоремы учитель использует частично-поисковый метод, таким образом, активизация класса происходит посредствам эвристической беседы, которую ведет учитель с учащимися.
Заметим, что вопросы, которые по ходу доказательства теоремы задает учащимся учитель, должны соответствовать аналитико-синтетическому ходу рассуждений, это поможет школьникам самим искать путь доказательства, а не получать его в готовом виде.
Частично-поисковый метод изложения доказательства теоремы в значительной степени активизирует познавательную деятельность учащихся. Этот метод создает дидактические трудности, преодоление которых направляет и стимулирует интеллектуальную деятельность школьника.
Прием 2. Учитель излагает доказательство теоремы объяснительно-иллюстративным методом в форме краткого рассказа, не прерывая его вопросами в адрес учащихся.
Этот прием обеспечивает высокое качество изложения доказательства, позволяет учащимся легче воспринимать последовательность, обоснованность и другие стороны доказательства. Роль учителя в таком случае выступает для школьников научным и логическим образом оформления доказательства, они учатся строить умозаключения, делать обобщения и выводы.
Объяснительно-иллюстративный метод изложения доказательства теоремы в отличие от частично-поискового. Позволяет экономить время на уроке. Этот метод обычно используют в тех случаях, когда доказательство большое по объему или же когда теорема доказывается принципиально новым для учащихся способом.
Прием 3. Метод самостоятельного изучения доказательства по учебнику. Учитель выступает здесь в роли консультанта и организатора. Учащимся даются указания к выполнению работы, обращается внимание на основные и наиболее трудные моменты в доказательстве. Для облегчения самостоятельного изучения доказательства теоремы учитель может предложить учащимся готовый план.
В среднем профессиональном образовании для изложения доказательства чаще всего используются частично-поисковый метод и метод самостоятельного изучения. Так как в этих методах присутствуют все требования к обучению доказательства, а самое главное такой элемент как опровержение доказательства и методы научного познания.
Одна из основных задач учителя – помочь своим ученикам овладеть культурой построения математических доказательств, научить их последовательно и логично обосновывать каждый шаг рассуждений при решении задач и доказательстве теорем.
Литература
1. Атанасян, Л.С. Геометрия для 10 – 11 классов: учеб. пособие для общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2003. – 206 с.
2. Гусев, В.А. Методика преподавания геометрии: учеб. пособие для студентов пед. вузов / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др. – М.: Академия, 2004. – 368 с.
3. Далингер, В.А. Методика обучения учащихся доказательству математических предположений : учеб.пособие / В.А. Далингер. – М.: Просвещение, 2006. – 256с.4. Интеграция инновационных подходов к обучению в математическом образовании: вопросы теории и практики: Коллективная монография / Под ред. О. Б. Епишевой. - Тюмень: ТюмГНГУ, 2009. - 200 с.
5. Саранцев, Г.И. Обучение математическим доказательствам и опровержениям в школе / Г.И. Саранцев. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2005. – 183 с.
6. Тимофеева, И.Л. Некоторые замечания о методе доказательства от противного / И.Л. Тимофеев // Математика в школе. – 1994. - № 3. – С. 36-38.
7. Фридман, Л.М. Теоретические основы методики обучения математики / Л.М. Фридман. – 2-е изд. испр. и доп. – М.: Едиториал УРСС, 2005. – 248 с.
8. Яровенко, В.А. Поурочные разработки по геометрии 10 класс: в помощь школьному учителю / В.А. Яровенко. – М.: ВАКО, 2006. – 304 с.
HYPER13PAGE HYPER15
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ АМУРСКОЙ ОБЛАСТИ
АМУРСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ
(ГПОАУ АТК)
Доклад
Тема: Особенности обучения студентов СПО доказательствам математических утверждений
г. Свободный, 2021 г.
Особенности обучения студентов СПО доказательствам математических утверждений
Андреева Анна Викторовна, преподаватель математики
ГПОАУ Амурский Технический Колледж
Проблема обучения учащихся доказательству всегда являлась одной из центральных в методике преподавания математики. В настоящее время ее актуальность возросла. Дело в том, что осуществляемый процесс гуманизации образования предполагает направленность обучения на развитие личности, на формирование ее свойств, в частности нравственности, что возможно лишь в контексте обучения доказательству. Обучение доказательству должно быть одной из целей обучения математике и являться составляющей основы конструирования содержания обучения математике в СПО.
Обучение доказательству играет большую роль в развитии дедуктивно-математического мышления и общих мыслительных способностей учащихся.
Несмотря на обилие работ, и рекомендаций по обучению учащихся доказательству, владение соответствующим умение находится на низком уровне. Поэтому проблема обучения доказательству является актуальной.
Основу разработки методики обучения доказательству составляют следующие положения:
обучение доказательству есть обучение анализу доказательства, его воспроизведению, самостоятельному открытию факта, поиску и конструированию его доказательства, а также опровержению предложенных доказательств;
единство логики и эвристики в обучении доказательству;
обучение доказательству – деятельность, имеющая специфическое строение, условия и форму осуществления.
В школьном обучении у ребенка начинает развиваться словесно-логическое мышление.
Словесно-логическое мышление осуществляется с помощью следующих мыслительных действий.
Анализ – мысленное расчленение объекта познания на части с целью установления его свойств и особенностей, взаимосвязей этих частей объекта.
Синтез – мысленное воссоединение отдельных элементов или частей в единое целое.
Сравнение – сопоставление объектов познания с целью нахождения сходства и различий между ними.
Абстрагирование – это мысленное выделение каких-либо существенных свойств и признаков при одновременном отвлечении от всех других свойств и признаков этих объектов. В результате абстрагирования выделенное свойство или признак сам становится предметом мышления.
Обобщение в математике используется в двух различных формах:
эмпирическое обобщение, как мысленное выделение общих свойств в нескольких объектах и объединение их в группы на основе выделенных инвариантов.
научно-техническое обобщение, как мысленное выделение в рассматриваемом объекте с помощью глубокого анализа свойств этого объекта, какого-то существенного свойства в виде общего понятия для целого класса объектов, обладающих выделенным свойствам.
Конкретизация – также может выступать в двух формах:
как мысленный переход от общего к единичному, частному.
как восхождение от абстрактно-общего к конкретно-частному путем выявления различных свойств и признаков этого абстрактно-общего, как наполнение, обогащение абстрактно-общего конкретным содержанием.
Классификация – разделение множества объектов на непересекающиеся части по какому-то основанию – свойству, признаку.
Видом умозаключений являются суждения, выводимые из других суждений: дедуктивные, индуктивные и по аналогии.
Дедукция – это вид умозаключения, когда из некоторых истинных суждений чисто логическим путем, на основе известного общего правила выводится как их непосредственное следствие новое суждение. В обучении математике изложение нового учебного материала обычно производится с помощью дедуктивных рассуждений. Доказательство теорем – это вывод, полученный дедуктивно на основе понятий системы аксиом, определений и условий теоремы. Широкое использование в обучении математике дедуктивных рассуждений способствует развитию у учащихся логического мышления, учит их обосновывать свои решения задач.
Однако сами математические факты и положения открывают, устанавливаются с помощью не дедукции, а большей частью с помощью индукции и аналогии.
Индукция – это переход от единичного знания об определенных предметах данного множества к общему выводу обо всем предмете данного множества. Основой индуктивного вывода являются результаты наблюдений и экспериментов над отдельными предметами данного множества. Однако индуктивное обобщение является лишь гипотезой, справедливость которой должна быть, затем доказана дедуктивно.
Аналогия – вид умозаключения, когда свойства одного предмета переносятся на другой предмет, чем-то подобный первому. Например, для всякого треугольника справедливо, что каждая его сторона меньше суммы двух других сторон. В пространстве треугольнику аналогична треугольная пирамида, поэтому можно предполагать по аналогии, что площадь каждой грани треугольной пирамиды меньше суммы площадей остальных граней. Однако этот вывод нуждается в доказательстве, которое может быть проведено лишь дедуктивно.
Доказательства представляют собой цепочки умозаключений, ведущих от истинных посылок к доказываемым тезисам.
Доказательство включает в себя три основных элемента:
1. Тезис (главная цель доказательства – установить истинность тезиса). Форма выражения тезиса – суждение.
К доказываемому тезису предъявляют следующие требования:
Тезис должен быть сформулирован ясно и определенно.
Тезис должен оставаться неизменным на протяжении всего доказательства.
2. Аргументы доказательства – положения, на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса.
Требования, предъявляемые к аргументам:
Аргументы доказательства должны быть суждениями истинными и доказанными.
Аргументы должны быть такими суждениями, истинность которых доказана независимо от тезиса.
3. Демонстрация – логический процесс взаимосвязи суждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису.
Способы связи аргументов от условия к заключению суждения называют методами доказательства, которые в школьном курсе математики, делятся на прямые и косвенные.
Под обучением доказательству мы понимаем обучение учащихся анализу готовых доказательств, их воспроизведению, самостоятельному открытию факта, поиску и конструированию доказательства, а также опровержению предложенных доказательств.
Огромная роль в самостоятельном поиске доказательств принадлежит умению использовать методы научного познания: аналогию, обобщение, конкретизацию, анализ и т. д.
Р.С. Черкасов в своей книге писал, что математическое доказательство – это доказательство математических предположений или доказательство предположений в рамках какой-нибудь математической теории.
Приемы прямого доказательства:
1) прием преобразования условия суждения (синтетический);
2) прием преобразования заключения суждения: отыскание достаточных оснований справедливости заключения (восходящий анализ); отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждения (нисходящий анализ);
3) прием последовательного преобразования то условия, то заключения суждения.
Приемы косвенного доказательства:
1) метод от противного (истинность доказываемого тезиса устанавливается посредствам опровержения противоречащего ему суждения);
2) разделительный (тезис рассматривается как один из возможных вариантов предложений, когда отвергаются все предложения, кроме одного).
Ознакомить учащихся с доказательством теоремы можно различными путями.
Прием 1. Для изложения доказательства теоремы учитель использует частично-поисковый метод, таким образом, активизация класса происходит посредствам эвристической беседы, которую ведет учитель с учащимися.
Заметим, что вопросы, которые по ходу доказательства теоремы задает учащимся учитель, должны соответствовать аналитико-синтетическому ходу рассуждений, это поможет школьникам самим искать путь доказательства, а не получать его в готовом виде.
Частично-поисковый метод изложения доказательства теоремы в значительной степени активизирует познавательную деятельность учащихся. Этот метод создает дидактические трудности, преодоление которых направляет и стимулирует интеллектуальную деятельность школьника.
Прием 2. Учитель излагает доказательство теоремы объяснительно-иллюстративным методом в форме краткого рассказа, не прерывая его вопросами в адрес учащихся.
Этот прием обеспечивает высокое качество изложения доказательства, позволяет учащимся легче воспринимать последовательность, обоснованность и другие стороны доказательства. Роль учителя в таком случае выступает для школьников научным и логическим образом оформления доказательства, они учатся строить умозаключения, делать обобщения и выводы.
Объяснительно-иллюстративный метод изложения доказательства теоремы в отличие от частично-поискового. Позволяет экономить время на уроке. Этот метод обычно используют в тех случаях, когда доказательство большое по объему или же когда теорема доказывается принципиально новым для учащихся способом.
Прием 3. Метод самостоятельного изучения доказательства по учебнику. Учитель выступает здесь в роли консультанта и организатора. Учащимся даются указания к выполнению работы, обращается внимание на основные и наиболее трудные моменты в доказательстве. Для облегчения самостоятельного изучения доказательства теоремы учитель может предложить учащимся готовый план.
В среднем профессиональном образовании для изложения доказательства чаще всего используются частично-поисковый метод и метод самостоятельного изучения. Так как в этих методах присутствуют все требования к обучению доказательства, а самое главное такой элемент как опровержение доказательства и методы научного познания.
Одна из основных задач учителя – помочь своим ученикам овладеть культурой построения математических доказательств, научить их последовательно и логично обосновывать каждый шаг рассуждений при решении задач и доказательстве теорем.
Литература
1. Атанасян, Л.С. Геометрия для 10 – 11 классов: учеб. пособие для общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2003. – 206 с.
2. Гусев, В.А. Методика преподавания геометрии: учеб. пособие для студентов пед. вузов / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др. – М.: Академия, 2004. – 368 с.
3. Далингер, В.А. Методика обучения учащихся доказательству математических предположений : учеб.пособие / В.А. Далингер. – М.: Просвещение, 2006. – 256с.4. Интеграция инновационных подходов к обучению в математическом образовании: вопросы теории и практики: Коллективная монография / Под ред. О. Б. Епишевой. - Тюмень: ТюмГНГУ, 2009. - 200 с.
5. Саранцев, Г.И. Обучение математическим доказательствам и опровержениям в школе / Г.И. Саранцев. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2005. – 183 с.
6. Тимофеева, И.Л. Некоторые замечания о методе доказательства от противного / И.Л. Тимофеев // Математика в школе. – 1994. - № 3. – С. 36-38.
7. Фридман, Л.М. Теоретические основы методики обучения математики / Л.М. Фридман. – 2-е изд. испр. и доп. – М.: Едиториал УРСС, 2005. – 248 с.
8. Яровенко, В.А. Поурочные разработки по геометрии 10 класс: в помощь школьному учителю / В.А. Яровенко. – М.: ВАКО, 2006. – 304 с.
HYPER13PAGE HYPER15
