Публикации МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ В ЧИСТЫХ СТРАТЕГИЯХ

Всероссийский сборник статей и публикаций института развития образования, повышения квалификации и переподготовки.

Язык издания: русский
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ В ЧИСТЫХ СТРАТЕГИЯХ
Автор: Анна Игоревна Головатая

Головатая А. И.обучающаяся по направлению подготовки 44.03.05 Педагогическое образование, профили Математика и Информатикастудентка 3 курса ФГАОУ ВО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»,Белгород, РФНаучный руководитель: Шевцова М. В.доцент кафедры математики ФГАОУ ВО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»,Белгород, РФМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ В ЧИСТЫХ СТРАТЕГИЯХАннотацияВ настоящей работе представлены основные понятия теории игр. На конкретных практических примерах показано различие матричных игр в чистых и смешанных стратегиях. Представлена основная теорема матричных игр с доказательством.ВведениеТеория игр – раздел математики, предметом которого является изучение математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта [3].Наиболее полное изложение идей и методов теории игр впервые появилось в 1944 году в научном труде «Теория игр и экономическое поведение» математика Джона фон Неймана и экономиста Оскара Моргенштерна, которая распространила теорию игр на произвольное число участников и применила ее к экономическому поведению. Таким образом, теория игр – один из новейших разделов в математике.Механизмы конкуренции, функционирования рынка, возникновения или краха монополий, способы принятия ими решений в условиях конкурентной борьбы, то есть механизмы игры монополий, действующие в экономической реальности, - все это является предметом анализа теории игр. Главная задача теории игр - предсказать поведение участников конфликта. Таким образом, конфликтные ситуации приводят к возникновению различных видов игр. Если цели конфликтующих сторон противоположные, то такие игры получили название антагонистических игр. При конечном выборе стратегий игры, антагонистические игры будут называться матричными. Следовательно, матричные игры представляют собой конечные игры двух сторон конфликта (далее игроков) с нулевой суммой. Матричные игры делятся на два типа: матричные игры в чистых стратегиях и матричные игры в смешанных, исходя из выбора стратегии игроками. В данной работе мы рассмотрим данную классификацию и изучим различие этих двух видов [3]. Матричная игра и ее правилаАнтагонистические игры – парные игры, в которых выигрыш одного игрока равен проигрышу другого, поэтому совместные действия игроков, их переговоры и соглашения лишены смысла [2].Определяется антагонистическая игра заданием множеств стратегий игроков и выигрышей первого игрока в каждой ситуации, состоящей в выборе игроками каждой стратегии.Антагонистическая игры называется матричной, если в этой игре оба игрока имеют конечное число стратегий X и Y, то есть если оба множества X и Y состоят из конечного числа элементов. В матричной игре можно считать, что , и положить Таким образом, матричная игра полностью определяется матрицей Следовательно, матричная игра – это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задается выигрыш игрока A в виде матрицы, в которой строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока B, столбец – номеру применяемой стратегии игрока B; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока A, соответствующий применяемым стратегиям. Теория матричных игр позволяет нам рассматривать и с легкостью решать задачи принятия решений в ситуациях с несколькими участниками, когда значение целевой функции для каждого зависит также и от решений, принимаемых остальными участниками. Поэтому важная роль в матричных играх отводится конфликтам и совместным действиям [3].Область применения матричных игр не столь очевидна, но тоже достаточно обширна. Например, совсем недавно были проведены исследования, показавшие, что взаимоотношения различных видов животных на какой-либо территории, их взлеты и падения, вымирание можно описать с помощью расширенной до большего числа вариантов всем известной игры "камень-ножницы-бумага". А данная игра, как известно, является ничем иным, как матричной игрой [4, 5].Математическая теория игр способна не только указать оптимальный путь к решению некоторых проблем, но и прогнозировать их исход. Матричные игры серьёзно изучаются специалистами, так как к ним могут быть сведены игры общего вида. Поэтому теория матричных игр хорошо развита, существуют различные методы поиска решения игр. Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение, и оно может быть легко найдено путем сведения игры к задаче линейного программирования. Но в большинстве случаев решение матричных игр представляет собой трудный и громоздкий процесс. Есть примеры, когда даже для матриц размера 33, процесс поиска решения довольно трудоёмкий.В теории матричных игр предполагается, что функция выигрыша и множества стратегий, доступна и известна каждому из игроков, т.е. каждый игрок знает свою функцию выигрыша и набор имеющихся в его распоряжении стратегий, а также функций выигрыша и стратегий все остальных игроков, и в соответствии с этой информацией организует свое поведение.Стратегия матричной игрыПусть игроки A и B располагают конечным числом возможных действий — чистых стратегий. Обозначим их соответственно и . Игрок A может выбирать любую чистую стратегию , в ответ на которую игрок может выбрать любую свою чистую стратегию . Если игра состоит только из личных ходов пары стратегий однозначно определяет результат — выигрыш игрока A. При этом проигрыш игрока составляет — . Если известны значения — выигрыша для каждой пары чистых стратегий, можно составить матрицу выигрышей игрока (проигрышей игрока B) (таблица 1). Такая таблица называется платежной матрицей или просто матрицей игры. Таблица 1В таблице 1 приведены числа — минимально возможный выигрыш игрока , применяющего стратегию , и — максимально возможный проигрыш игрока B, если он пользуется стратегией .Как и в антагонистических играх, число называют нижней чистой ценой игры (максимином), а соответствующую ему чистую стратегию - - максиминной. Число λ показывает, какой минимальный гарантированный выигрыш может получить игрок A, правильно применяя свои чистые стратегии при любых действиях игрока B. Число называют верхней чистой ценной игры (минимаксом), а соответствующую чистую стратегию — минимаксной. Число β показывает, какой минимальный гарантированный проигрыш может быть у игрока B при правильном выборе им своих чистых стратегий независимо от действий игрока A.Следовательно, игрок обеспечит себе выигрыш не меньше λ, при правильном использовании своих чистых стратегий, а игрок в результате правильного применения своих чистых стратегий не позволит игроку A выиграть больше, чем β. Из этого следует, что . Если , то говорят, что игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры . Пару чистых стратегий и , соответствующих λ и β, называют седловой точкой матричной игры, а элемент платежной матрицы, стоящий на пересечении - й строки и - гo столбца, — седловым элементом платежной матрицы. Он одновременно является минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце, т. е. . Стратегии и , образующие седловую точку, являются оптимальными. Тройку называют решением игры [3].Пример 1. Пусть два игрока и , не глядя друг на друга, кладут на стол по монете вверх гербом или вверх решкой, по своему усмотрению. Если игроки выбрали одинаковые стороны (у обоих герб или у обоих решка), то игрок забирает обе монеты; иначе их забирает игрок B. Требуется проанализировать игру и составить ее матрицу. Решение. Игра состоит только из двух ходов: ход игрока А и ход игрока В, оба хода личные. Игра не принадлежит к играм с полной информацией, так как в момент хода выполняющий его игрок не знает, что сделал другой. Так как у каждого из игроков имеется только один личный ход, то стратегия игрока представляет собой выбор при этом единственном личном ходе. У каждого игрока две стратегии:

игрок А: выбрать герб, выбрать решку;

игрок В: герб, решка.

Таким образом, данная игра есть игра 2×2. Пусть выигрыш монеты обозначается +1. Матрица игры приведена в таблице 2. На примере этой игры можно уяснить некоторые существенные идеи теории игр. Таблица 2Давайте предположим, что эта игра выполняется только один раз. Тогда будет очевидно, что других стратегий быть не может. Каждый из игроков с одинаковым основанием может принять любое решение. Однако при повторении игры положение меняется. Действительно, положим, что игрок А выбрал себе какую-то стратегию . Тогда уже по результатам первых нескольких ходов противник догадывается о стратегии игрока А и будет на нее отвечать наименее выгодным для него образом, то есть выбирать решку. Но игроку А явно невыгодно всегда применять какую-то одну стратегию. Чтобы не оказаться в проигрыше, он должен иногда выбирать герб, а иногда – решку. Однако, если он будет чередовать гербы и решки, например, то противник (игрок В) тоже может догадаться об этом и ответить на эту стратегию худшим для игрока А образом. Очевидно, что игроку А нужно подобрать свою стратегию таким образом, чтобы его противник не знал о ней, и, чтобы была такая организация выбора при каждом ходе, что игрок А сам не знает значение своего хода. Например, это можно обеспечить при помощи подбрасывания монеты. Исходя из выше сказанного, путем интуитивных рассуждений можно прийти к выводу, что речь идет о формировании важнейшего понятия в теории игр ˗ о понятии «смешанной стратегии», то есть такой стратегии, когда «чистые» стратегии чередуются случайно с определенными частотами [2]. ЗаключениеМатричные игры – один из наиболее важных типов антагонистических игр. Матричная теория изучена более подробно по сравнению с теорией антагонистических игр. Известны различные алгоритмы поиска оптимальных стратегий игроков в матричной игре, они в большинстве своём наглядны и просты в применении, выбор алгоритма зачастую определяется размерностью матрицы. Исследование метода классификации матричных игр является очень важным вопросом, поскольку матричные игры широко используются в системах принятия решений. Они могут служить математическими моделями многих простейших конфликтных ситуаций из области экономики, математической статистики, военного дела, биологии. Список использованной литературы

Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. – М.: Высшая школа. – 2007. – 208с.

Деркач Д.В. Матричные игры: задания и методические рекомендации по выполнению самостоятельных расчетных работ: учебно-методическое пособие. - Армавир, 2010. – 210 с.

Луньков А.Д. Теория игр. – Саратов: 2008. – 136 с.

Лабскер Л.Г., Ященко Н.А. Теория игр в экономике (практикум с решениями задач): учебное пособие. – М.: КноРус, 2012. – 278 с.

Моргенштерн О., Нейман Дж. фон. Теория игр и экономическое поведение – М.: Книга по Требованию, 2012. – 708 с.