Публикации Статья "Задачи с параметрами 10-11 классы"

Всероссийский сборник статей и публикаций института развития образования, повышения квалификации и переподготовки.

Язык издания: русский
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: Статья "Задачи с параметрами 10-11 классы"
Автор: Валиева Альбина Жикписбаевна

Задачи с параметрамиЗадачи с параметрами представляют собой широкое поле для полноценной математической деятельности. Решение задач, а точнее уравнений и неравенств с параметрами открывает перед обучающимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применимых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Это касается и идеи симметрии аналитических выражений, и применения свойств функции в неожиданных для решающего ситуациях, в том числе нестандартных для школьной математики применениях средств математического анализа, и освоения геометрических приемов решения задач как равноправных, по существу, с аналитическими методами и т.п.Параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу: предполагаемая известность позволяет обращаться с параметром как с числом, а вот степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Задачи с параметрами бывают 2 типов:1 тип: надо решить целый класс задач. Например, решить уравнение, найти формулу для решения как функцию от параметра.2 тип: из множества значений, которые принимает параметр, требуется выделить значения, обладающие некоторым требуемым свойством, исследовать решение в зависимости от значений параметра.Решить уравнение с параметром - это значит: указать, при каких значениях параметра существуют решения данного уравнения и какие они. При решении уравнений с параметрами, да и вообще уравнений, надо очень внимательно следовать главному принципу: прежде чем сделать что-то, подумай, можно ли это сделать! Необходимо осторожно и даже деликатно обращаться с фиксированным, но неизвестным числом.Сначала проверь:1. не равен ли при делении делитель нулю;2. знак выражения при извлечении корня четной степени из него;3. больше или меньше 1 основание логарифма при логарифмировании, потенцировании;4. знаки обеих частей неравенства при возведении их квадрат;5. знак выражения, стоящего под знаком логарифма; и тому подобное.При использовании этого главного принципа появляются различные возможности, зависящие от данного значения параметра.При решении заданий с параметрами полезно сразу выписать допустимые значения параметров, то есть значения, при которых поставленная задача имеет смысл.Задания с параметрами необходимо включать при итоговых повторениях больших разделов или всего курса алгебры и начал анализа.При решении уравнения с параметром отсутствие в ответе какого какого-либо значения параметра с указанием числа корней или значений корней уравнения при этом значении параметра следует считать ошибкой.Виды работ с использованием параметров, которые могут быть включены в итоговое повторение: - использование монотонности и экстремальных свойств функций;- решение относительно параметра;- симметрия; - задания, решаемые от общего к частному;- графическая интерпретация;- задания с логическим содержанием;- исследование квадратного трехчлена; и т.п.Существует класс задач, где за счет параметра на переменную накладываются какие-либо искусственные ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки: при каком значении параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно решение, два, бесконечно много, ни одного; решением уравнения (неравенства, системы) является какое-то подмножество множества действительных чисел и др.Пример 1. При каких значениях параметра a система уравнений имеет единственное решение.Очевидно, что если – решение системы, то также является ее решением. Поэтому условие x=0 необходимое для существования единственного решения. Заметим, что оно не является достаточным: наша система может иметь несколько решений вида или вообще не иметь решений.Положим х=0. ТогдаОтсюда а = 0 или а=2.Итак, искомые значения параметра надо выбирать в множестве . При а=0 получаем:откуда поэтому или или Как видите, нашлось три решения системы, значит, а=0 не удовлетворяет условию задачи.При а=2 получим:Очевидно, что . Из первого уравнения имеем , из второго - . Следовательно, у=1, значит, х=0. Проверка показывает, что пара (0;1) – решение, а в силу ограничения для переменной у и ) оно единственно.Ответ: а=2.В примере достаточное условие для искомых значений параметра устанавливалось в результате проверки. Возможен, однако, и другой подход.Поскольку каждое достаточное условие является необходимым, но не каждое необходимое условие является достаточным, ясно, что последовательным усилением необходимого условия можно в конце концов свести его к достаточному.Пример 2. При каких значениях параметров а и b уравнение имеет единственное решение?Рассмотрим функцию (с,d,e – некоторые числа). Не нарушая общности рассуждений, положим , . Очевидно, что уравнение имеет единственный корень при c=d.Поэтому для того, чтобы уравнение имело единственный корень достаточно выполнения условий c=d и e=0.Итак, для нахождения искомых значений параметров a и b достаточно решить системуРассмотрим первое из ее уравнений:.Добавим к обеим его частям :.Тогда .Правая часть полученного уравнения неположительна:, значит, уравнение имеет решение лишь при или Первая из этих систем дает Из второй получим, что, с одной стороны, а с другой - , но при целых этого быть не может.Тогда имеем или Ответ: b=0, , или любое действительное число.Основные способы решения задач с параметрами: аналитический, графический, решение относительно параметра.Демонстрировать каждый из способов не будем, лишь заметим, что есть традиционные для всех обучающихся решения, так называемые «прямые», а наряду с ними существуют решения «опытных бойцов», которых не смущают технические трудности, спаособных анализировать логические трудности, рациональность, объём, временные промежутки. Прежде чем приступить к решению задачи с параметрами, рекомендуем разобраться в ситуации для конкретного задания. Неудачная попытка получения результата к задаче предполагает неготовность решить задачу в общем виде, неправильный выбор метода, отсутствие навыков овладения основными темами школьного курса математики. Постановка фиксированного значения параметра позволяет во многих задачах «нащупать» путь решения задачи. Особая роль играет и обработка результатов, полученных на том или ином этапае решения. Удобно: представление результатов в табличном виде.В ходе обучения решению задач с параметром важно решать задачный материал на определенные типы заданий различного уровня сложности, важно развивать у школьников самостоятельность при их решении. Учителю необходимо учитывать особенности обучения данной теме и организовать работу на уроке таким образом, чтобы обучающиеся сами стремились к решению данных заданий.Библиографический списокГорнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами.— М.: Илекса, 2005. — 328 с.Электронные источники