Всероссийский сборник статей и публикаций института развития образования, повышения квалификации и переподготовки.

Краткий справочник для обучающихся 6 класса КВАДРАТЫ И КУБЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ n 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 n2 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n3 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 Натуральные числа – это те числа, которые мы используем при счете: 1,2,3,4,5,…, 55,56,…,1001.. a+b=c слагаемое слагаемое сумма a-b=c уменьшаемое вычитаемое разность a·b=c множитель множитель произведение a:b=c делимое делитель частное СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ 1. ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНОЕ: a+b = b+a 2. СОЧЕТАТЕЛЬНОЕ: a+(b+c) = (a+b)+c 3. СВОЙСТВА НУЛЯ ПРИ СЛОЖЕНИИ: а0 = 0а = а 4. ВЫЧИТАНИЕ СУММЫ ИЗ ЧИСЛА: a-(b+c) = a-b-c 5. ВЫЧИТАНИЕ ЧИСЛА ИЗ СУММЫ: (a+b)-c = a+(b-c) или (a+b)-c = (a-c)+b 6. СВОЙСТВА НУЛЯ ПРИ ВЫЧИТАНИИ: а-0 = а; а-а = 0 СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ 1. ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНОЕ: a·b = b·a 2. СОЧЕТАТЕЛЬНОЕ: a· (b·c) = (a·b) ·c 3. n· 1 = n m·0 = 0 4. СВОЙСТВА ДЕЛЕНИЯ: a:1 = a a:a = 1 0:a = 0 УПРОЩЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ – СВОЙСТВА 1. РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНОЕ – для того, чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения. (a+b)c = ac+bc 2. РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНОЕ – для того, чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе. (a-b)c = ac-bc 3. Эти свойства можно использовать и справа налево!!! Пример: 7а8а = (78)а = 15а РАСКРЫТИЕ СКОБОК a+(b+c) = a+b+c a-(b+c) = a-b-c Пример: 45 - (25 - 5а) = 45 – 25 + 5а = 20+5а СТЕПЕНЬ ЧИСЛА а6 а-основание степени, 6 – показатель степени Если в выражение входят степени, то их значения вычисляют до выполнения остальных действий. Пример: 74 = 7•7•7•7  2401 n 8=n•n•n•n•n•n•n•n УРАВНЕНИЯ Уравнением называют равенство, содержащее букву, которую надо найти. Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения. Решить уравнение – значит найти все его корни (или убедиться, что корней нет). Правило Пример Чтобы найти неизвестное слагаемое надо из суммы вычесть известное слагаемое. х+24 = 42 х = 42-24 х = 18 Чтобы найти уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность. х-24 = 42 х = 42+2 х = 66 Чтобы найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность 24-х = 2 х = 24-2 х = 22 Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель 24·х = 48 х = 48:24 х = 22 Чтобы найти делимое, надо частное умножить на делитель. х:24 = 2 х = 24·2 х = 48 Чтобы найти делитель, делимое разделить на частное. 24 : х=4 х = 24:4 х = 6 ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ДЛИНА: 1см10мм 1дм10см 1м10дм100см ПЛОЩАДЬ: 1см2100мм2 1дм2100дм2 1м2100дм210000см2 1а100м2 1га100а10000м2 1км2100га1000000м2 ОБЪЁМ: 1см31000мм3 1дм31000см3 1м31000дм31000л 1л1дм31000см3 1км31000000000м3 ПЕРИМЕТР, ПЛОЩАДЬ, ОБЪЕМ КВАДРАТ: P=4·a, S=a2 ПРЯМОУГОЛЬНИК: P=2(a+b), S=a·b ТРЕУГОЛЬНИК: P=a+bс, S=a·h, а – сторона, h - высота ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ m - числитель показывает сколько долей(частей) взяли. n – знаменатель показывает на сколько частей разделили ДРОБИ Правильные Неправильные Числитель меньше Числитель больше или равен знаменателя знаменателю Пример: Пример: СМЕШАННЫЕ ЧИСЛА: 3 - целая часть 3 - числитель 4 - знаменатель 5 - целая часть 2 - числитель 3 – знаменатель ДЕЙСТВИЯ С ОБЫКНОВЕННЫМИ ДРОБЯМИ Пример: Сложение и вычитание дробей Умножение и деление дробей 3) 4) 1) ; 2) 3) ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ Любое число, знаменатель дробной части которого выражается единицей с одним или несколькими нулями, можно представить в виде десятичной дроби. Пример: 7=7,2. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ Записываем дроби, поставив запятую под запятой, уравниваем количество знаков после запятой, и складываем (вычитаем) как обычные числа. Пример: 3,700 3,7+2,342=6,042 +2,342 6,042 УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ Пример: 12,52 Пример: 12,45:1,5=124,5:15 х 1,5 _124,5 /15 6250 120 8,3 1252__ 45 18,770 45 0 УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ НА 10, 100… И 0,1; 0,01… При умножении десятичной дроби на 10, 100… надо перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько нулей в множителе после единицы. Пример: 0,065·100 = 6,5 14,305 ·10143,05 При делении десятичной дроби на 0,1; 0,01… надо перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько знаков после запятой. Пример: 0,065:0,01= 6,5 12,614:0,1=126,14 При умножении десятичной дроби на 0,1; 0,01… надо перенести в ней запятую влево на столько цифр, сколько нулей в множителе после единицы. Пример: 6,5·0,1 0,65 24,138·0,010,24138 При делении десятичной дроби на 10; 100… надо перенести в ней запятую влево на столько цифр, сколько знаков после запятой. Пример: 6,5:10 = 0,65 0,237:100=0,00237 ОКРУГЛЕНИЕ ЧИСЕЛ Если при округлении чисел после нужного разряда стоит 5, 6, 7, 8, 9, то его увеличиваем на единицу, а все остальные заменяем нулями. Если стоит число меньше 5, нужный разряд не увеличиваем. Пример: 3459834600 341,98340,00=340 4,376 ≈ 4,4; 2,8195 ≈ 2,820; 10,1425 ≈ 10,14. ПРОЦЕНТЫ Процентом называют одну сотую часть числа. ПРОПОРЦИИ Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго, или какую часть первое составляет от второго. Равенство двух отношений – пропорция. а:вс:к СВОЙСТВО: а·к = в·с ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ На 10: число делится на 10, если оно оканчивается на 0. На 5: число делится на 5, если оно оканчивается на 0 и на 5. На 2: число делится на 2, если оно оканчивается четной цифрой: 2,4,6,8,0. На 3 или 9: число делится на 3 или 9, если сумма цифр этого числа делится на 3 или 9. ЧИСЛА ПРОСТЫЕ СОСТАВНЫЕ Числа, имеющие только Числа, имеющие более два делителя: 1 и само себя. двух делителей. ЗАДАЧИ Чтобы найти дробь от числа, надо умножить число на эту дробь. Два числа, произведение которых равно 1 называют взаимно обратными. Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо это значение разделить на дробь. ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Координатная прямая – прямая, на которой выбрано начало, единичный отрезок и направление. ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ: а и –а; -5 и 5; -71 и 71, МОДУЛЬ ЧИСЛА Модулем числа а называют расстояние от начала координат до точки А(а). ДЕЙСТВИЯ С ЧИСЛАМИ 1. 3 + 4 = 7 2. 3 – 4 = -1 3. -3 + 4 = 1 4. -3 - (-4) = -7 5. 3·4 = 12 6. 3·(-4) = -12 7. -3·4 = -12 8. -3·(-4) = 12 9. Аналогично с делением: (+) : (+) = + (+) : (-) = (-) : (-) = + ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ 1. Окружность — это множество всех точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от данной точки. 2. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Круг можно разбить на две равные половины (полуокружность): это означает, что он имеет зеркальную симметрию. Отрезок, который делит его пополам, называется диаметром. 3. Элементы окружности и круга: Радиус (r) – любой отрезок от центра окружности до любой точки на ней. Диаметр (d) – любой отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр (d = 2r). Хорда – любой отрезок, соединяющий две точки окружности. Сегмент – меньшая из двух частей, на которые хорда делит круг. Окружность – является границей круга. Дуга – любая непрерывная часть окружности. Сектор – часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Похож на ломтик пирога. Площадь круга – размер пространства внутри окружности. Касательная – прямая, проходящая ровно через одну точку окружности. 4. Для того чтобы начертить окружность, вам нужны два инструмента — циркуль и линейка. Упираем ножку циркуля в бумагу, а грифелем описываем окружность. Радиус окружности равен раствору циркуля. Линейка нужна для точного измерения радиуса. Точку, в которую упирается остриё циркуля, называют центром окружности. 5. Площадь круга зависит от его радиуса S = πr2