Публикации
Методическая разработка открытого урока "Основные понятия комбинаторики"
Всероссийский сборник статей и публикаций института развития образования, повышения квалификации и переподготовки.
Скачать публикацию
Язык издания: русский
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: Методическая разработка открытого урока "Основные понятия комбинаторики"
Автор: Агафонова Елена Михайловна
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: Методическая разработка открытого урока "Основные понятия комбинаторики"
Автор: Агафонова Елена Михайловна
Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение новосибирской области«Новосибирский колледж автосервиса и дорожного хозяйства»МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА проведения открытого занятияпо учебной дисциплине: ОУД.04 Математикадля специальности: 23.02.07 Техническое обслуживание и ремонт двигателей, систем и агрегатов автомобилейНОВОСИБИРСК - 2023СОДЕРЖАНИЕПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Тема открытого урока «Основные понятия комбинаторики» является достаточно актуальной темой. Несмотря на то, что комбинаторика является столь древним разделом математики, в школьной программе её стали изучать недавно. Произошедший в последние десятилетия взрыв интереса к комбинаторике во многом объясняется наступлением компьютерной эры и повышением роли, так называемой дискретной математики, имеющей дело, прежде всего с конечными множествами. Основной задачей урока является изучение методов комбинаторики, которые позволят выработать общие принципы решения различных интересных задач. Методы комбинаторики успешно применяются в физике, биологии, технике, военном деле и других направлениях народного хозяйства. Для организации деятельности обучающихся были выбраны следующие методы проведения урока: элементы информационных технологий, проблемный, групповая и индивидуальная работа обучающихся. Методическая разработка проведения открытого занятия по дисциплине «Математика» среди обучающихся ГАПОУ НСО «НКАиДХ» разработана для обучающихся 1 курса специальности 23.02.07 Техническое обслуживание и ремонт двигателей, систем и агрегатов автомобилей группы 172 автотранспортного направления.Разработчик: преподаватель дисциплины «Математика» - Агафонова Елена Михайловна.Тип занятия: изучение нового материала.Форма занятия: комбинированный урок.Продолжительность: 90 минутЦель занятия: ввести понятие науки "комбинаторика", комбинаторной задачи; показать обучающимся на примерах практическое применение в повседневной жизни, познакомить с правилами суммы и произведения. Задачи занятия:Образовательная: познакомить обучающихся с правилами суммы и произведения, методом перебора для решения комбинаторных задач, формировать навыки их применения при решении простейших задач;Развивающая: развивать математическое мышление и логическую речь обучающихся; мотивацию к познанию социокультурной среды;Воспитательная: формировать навыки самоконтроля, воспитывать чувство ответственности за качество и результата выполняемой работы, вырабатывать партнерские отношения.УУД:Личностные:- формирование ответственного отношения к учению, готовности к саморазвитию и самообразованию; - формирование коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве со сверстниками; - формирование устойчивой учебно-познавательной мотивации и интереса к учению.Коммуникативные:- организация и планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками; - построение устных и письменных высказываний, в соответствии с поставленной коммуникативной задачей. Познавательные: - умение слушать и слышать;- излагать полученную информацию, интерпретируя её в контексте решаемой задачи;- умение выбирать наиболее подходящий способ решения проблемы, исходя из ситуации.Регулятивные:- осуществление регулятивных действий самонаблюдения, самоконтроля, самооценки в процессе урока; - формирование умения самостоятельно контролировать своё время и управлять им. Оборудование:Компьютер, проектор, раздаточный материал. Содержание занятияВВЕДЕНИЕИзучение темы «Основные понятия комбинаторики» является основополагающим раздела математики «Теория вероятностей и математическая статистика», знания основных положений данной темы являются базой для изучения этого раздела математики.Комбинаторика возникла в 17 веке. Долгое время она лежала вне основного русла развития математики.С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов - во время работы.Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга.Появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д.Комбинаторика как наука стала развиваться в 18 веке параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж.Кардано, Н.Тарталье (1499-1557), Г.Галилею (1564-1642) и французским ученым Б.Паскалю (1623-1662) и П.Ферма.Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г.Лейбниц в своей работе “ Об искусстве комбинаторики”, опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин “комбинаторика”. В современном обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика “добилась” новых успехов. В настоящее время в образовательный стандарт по математике включены основы комбинаторики, решение комбинаторных задач методом перебора, с применением правила умножения. В задачах по комбинаторике часто применяется такое понятие как факториал (в переводе с английского “factor” - “множитель”).ОСНОВНАЯ ЧАСТЬОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ К УРОКУОрганизационный момент Здравствуйте, ребята. Садитесь. Староста, кто отсутствует на уроке? Какие причины отсутствия? Мотивация учебной деятельности Ребята, предлагаю вам решить задачу из басни С. Крылова «Квартет»Проказница МартышкаОсёл,Козёл,Да косолапый МишкаЗатеяли играть квартет…Стой, братцы стой! –Кричит Мартышка, - погодите!Как музыке идти?Ведь вы не так сидите…И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.Вот пуще прежнего пошли у них разборыИ споры,Кому и как сидеть…- Как вы думаете сколько различных вариантов расположения музыкантов возможно? (учащиеся предлагают свои варианты)- В конце урока вы узнаете кто дал правильный ответ.Сегодня на уроке мы познакомимся с разделом математики, который позволяет ответить на вопрос «Сколькими способами…» или «Сколько вариантов…».Перед вами ребус, в котором зашифровано имя этой науки (Приложение 1).Ответ обучающихся: КомбинаторикаТема нашего урока «Основные понятия комбинаторики».На сегодняшнем занятии мы с вами узнаем, что такое комбинаторика, общие правила комбинаторики, что такое факториал и его свойства, рассмотрим комбинаторные комбинации.Объяснение нового материала Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».Термин «комбинаторика» был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем - всемирно известным немецким учёным.Комбинаторика - важный раздел математики, знание которого необходимо представителям самых разных специальностей. С комбинаторными задачами приходится иметь дело физикам, химикам, биологам, лингвистам, специалистам по кодам и др. Комбинаторные методы лежат в основе решения многих задач теории вероятностей и ее приложений.Общие правила комбинаторики Решение многих комбинаторных задач основывается на двух фундаментальных правилах, называемых правилом суммы и правилом произведения. Правило суммы. Если объект А можно выбрать n способами, а объект В – k способами, то объект «А или В» можно выбрать n+k способами. Пример 1. В ящике находятся 20 шаров: 5 белых, 6 черных, 7 синих и 2 красных. Сколькими способами можно взять из ящика один цветной шар?Решение: Здесь предполагается, что цветной шар – это синий или красный, поэтому надо применять правило суммы. Цветной шар можно выбрать 7 + 2 = 9 способами.Ответ: 9 способовПравило произведения. Если объект А можно выбрать n способами, а объект В независимо от него – k способами, то пару объектов «А и В» можно выбрать nk способами.Пример 2. В меню имеется 4 первых блюда, 3 вторых и 2 третьих. Сколько различных полных обедов можно из них составить?Решение: Полный обед состоит из первого, и второго, и третьего блюд. По правилу произведения получаем 4 3 2 = 24 различных полных обеда.Ответ: 24 различных полных обеда.Правила запоминаются лучше, если сопоставлять правило сложения с союзом «ИЛИ», а правило умножения с союзом «И».Понятие факториал и его свойства Определение. Факториал числа n - произведение всех последовательных натуральных чисел от 1 до n называется n-факториалом и обозначается n!, т.е. n! = 1 · 2 · 3 · ... · nФакториал определён только для натуральных чисел и нуля.Запомните Факториал нуля и единицы это 1.0! = 1 1! = 1 2! = 1 · 2 = 23! = 1 ·2 ·3 = 64! = 1 ·2 ·3 ·4 = 245! = 1 ·2 ·3 ·4·5 = 120и т.д.Свойства факториала:Эти две формулы позволяют, во-первых, легко считать факториал текущего натурального числа через факториал предыдущего числа или следующего через текущий. Такие формулы в математике называются рекуррентными.Во-вторых, с помощью этих формул можно упрощать и считать некоторые хитрые выражения с факториалами.Например:5! = (5 - 1)! * 5= 4! *5 = 24*5 = 1206! = 6*(6-1)! = 6*5! = 6*120 = 720Примеры решений:Сократить дробь: При сокращении факториалов, пользуемся свойством: n! = (n - 1)! * nВычислите значение выражения: 8! + 5! 8! + 5! = 5!·(6·7·8 +1)= 5!·(336+1) = 5!·337 = 120·337 = 40440Вычислите значение выражения: 7! = 1*2*3*4*5*6*7 = 5! * 6 *7Далее сокращаем все, что можем сократить (3*2=6, сокращаем числа 6) и получаем ответ.Комбинаторные комбинации Для формулировки и решения комбинаторных задач используют различные модели комбинаторных конфигураций. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: размещения, перестановки, сочетания.Перестановки – соединения, которые можно составить из n элементов, меняя всеми возможными способами их порядок.Пример 1: Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на 8 беговых дорожках?Число способов равно числу перестановок из 8 элементов. По формуле числа перестановок находим, что P8= 8! = 1·2·3·4·5·6·7·8 = 40 320.Значит, существует 40 230 способов расстановки участниц забега на восьми беговых дорожках.Пример 2: Чему равно а) ; б) Решение:а) Р5=5! = 5 · 4 · 3 · 2 ·1 = 120б) Р3=3! = 1 · 2 · 3 = 6Размещением из n элементов по k () называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из n элементов.Два размещения из n элементов считаются различными, если они отличаются самими элементами или порядком их расположения.Пример: Студенты 1 курса в первом семестре изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета?Любое расписание на один день, составленное из 4 различных предметов, отличается от другого либо набором предметов, либо порядком их следования. Значит, в этом примере речь идёт о размещениях из 9 элементов по 4. Имеем A94== 6·7·8·9 = 3024.Итак, расписание на один день можно составить 3024 способами.Сочетания – соединения, содержащие по m предметов из n, различающихся друг от друга по крайней мере одним предметом.Сочетания – конечные множества, в которых порядок не имеет значения.Пример: Из набора, состоящего из 15 красок, надо выбрать 3 краски для окрашивания шкатулки. Сколькими способами можно сделать этот выбор?Каждый выбор трех красок отличается от другого хотя бы одной краской. Значит, речь идёт о сочетаниях из 15 элементов по 3.Имеем C153 = = = 13·7·5 = 455.Следовательно, 3 краски можно выбрать 455 способами.Формирование умений и навыков в решении комбинаторных задач При решении комбинаторных задач и выборе типа соединений важно ответить на следующие вопросы:Все ли элементы входят в соединение? Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? Давайте вместе определим к какому типу соединений относится задача.Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков? Все ли элементы входят в соединение? (да) Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (на этот вопрос ответ не нужен) Вывод: перестановкаВ группе 25 обучающихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде? Все ли элементы входят в соединение? (нет) Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (нет) Вывод: сочетания3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?Все ли элементы входят в соединение? (нет) Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (да) Вывод: размещенияРешить задачи:У нас имеется 5 книг. Известно, что у нас всего одна полка, и на ней вмещается лишь 3 книги. Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги? Решение. Все ли элементы входят в соединение? (нет) Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (да) Вывод: размещениеn =3, m=5Сколькими способами из группы, где учатся 24 обучающихся, можно выбрать два дежурных? Решение. Все ли элементы входят в соединение? (нет) Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (нет) Вывод: сочетанияn =2, m=24Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках? Решение. Все ли элементы входят в соединение? (да) Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (на этот вопрос ответ не нужен) Вывод: перестановкиРn = n!n = 8Вернемся к решению задачи о музыкальном квартете Проказница МартышкаОсёл,Козёл,Да косолапый МишкаЗатеяли играть квартет…Стой, братцы стой! –Кричит Мартышка, - погодите!Как музыке идти?Ведь вы не так сидите…И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.Вот пуще прежнего пошли у них разборыИ споры,Кому и как сидеть…Сколько различных вариантов расположения музыкантов возможно?Решение. Все ли элементы входят в соединение? (да) Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (на этот вопрос ответ не нужен) Вывод: перестановкаРn = n! n =4Р4 = 4! = 1 · 2 · 3 ·4 = 24Обобщение и систематизация изучаемого материала Чтобы закрепить полученные знания, предлагаю выполнить задания в группе (Приложение 2). Для этого вам нужно разделиться на группы по 6 человек. Правильно выполненное каждое задание оценивается в 1 балл.В результате решения заданий учащиеся ответят на вопрос: кто является автором высказывания «Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле»? (русский математик, физик, механик, кораблестроитель Алексей Николаевич Крылов).Время, отведенное на выполнение задания 20 минут.Домашнее задание Выучить конспектРефлексия. Подведение итогов урока Рефлексия. Обучающиеся выбирают смайлик на листочке, предложенном преподавателем. (Приложение 3)Подведение итогов урока. Преподаватель выставляет оценкиСПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ1. Образовательная портал «Инфоурок» [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://infourok.ru/matematicheskaya-viktorina-svoya-igra-klass-2396131.html 2. Образовательная социальная сеть nsportal.ru [Электронный ресурс]. – Режим доступа: metodicheskaya-razrabotka-vneklassnogo-meropriyatiya3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» [Электронный ресурс]. – Режим доступа: 4. Научная электронная библиотека [Электронный ресурс]. – Режим доступа: 5. Сообщество педагогов «Pedsovet.ru» [Электронный ресурс]. – Режим доступа: Приложение 1Ф.И._____________________ Группа___________________Дата_____________________Ответ:____________________________________Приложение 2Ф.И._____________________ Группа___________________Дата_____________________Первая группаВторая группаТретья группаЧетвертая группаТаблица кодовРезультаты вычислений
