Всероссийский сборник статей и публикаций института развития образования, повышения квалификации и переподготовки.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Предлагаемый элективный курс является предметно-ориентированным. Преподавание курса строится как углублённое изучение вопросов, предусмотренных программой базового курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приёмам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности – повышенный.
Курс призван не только углублять знания школьников, но и развивать их интерес к предмету, формировать навыки исследовательской деятельности.
Основной целью данного курса является подготовка учащихся к успешной сдаче единого государственного экзамена по математике и успешное обучение в ВУЗе соответствующего профиля..
Основными задачами данного курса являются:
Расширение и углубление знаний учащихся по математике
Повышение математической культуры учащихся..
Развитие устойчивого интереса к математике.
Обучение методам и приёмам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление.
Формирование навыков и интереса к научной и исследовательской деятельности.
Для решения задач предполагается реализовать компетентностный, личностно-ориентированный, деятельностный подходы.
Компетентностный подход определяет следующие особенности предъявления содержания образования: оно представлено в виде трех тематических блоков, обеспечивающих формирование компетенций. В первом блоке представлены дидактические единицы, обеспечивающие совершенствование математических навыков. Во втором - дидактические единицы, которые содержат сведения из истории математики. Это содержание обучения является базой для развития коммуникативной компетенции учащихся. В третьем блоке представлены дидактические единицы, отражающие информационную компетенцию и обеспечивающие развитие учебно-познавательной и рефлексивной компетенций.
Принципы отбора содержания связаны с преемственностью целей образования на различных ступенях и уровнях обучения, логикой внутрипредметных связей.
Личностная ориентация образовательного процесса выявляет приоритет воспитательных и развивающих целей обучения. Способность учащихся понимать причины и логику развития математических процессов открывает возможность для осмысленного восприятия всего разнообразия мировоззренческих, социокультурных систем, существующих в современном мире. Система занятий элективных курсов призвана способствовать развитию личностной самоидентификации, гуманитарной культуры школьников, их приобщению к естественно-математической культуре, мотивации к социальному познанию и творчеству, воспитанию личностно и общественно востребованных качеств, в том числе гражданственности, толерантности.
Деятельностный подход отражает стратегию современной образовательной политики: необходимость воспитания человека и гражданина, интегрированного в современное ему общество, нацеленного на совершенствование этого общества. Система занятий сориентирована не столько на передачу �готовых знаний�, сколько на формирование активной личности, мотивированной к самообразованию, обладающей достаточными навыками и психологическими установками к самостоятельному поиску, отбору, анализу и использованию информации. Это поможет выпускнику адаптироваться в мире, где объем информации растет в геометрической прогрессии, где социальная и профессиональная успешность напрямую зависят от позитивного отношения к новациям, самостоятельности мышления и инициативности, от готовности проявлять творческий подход к делу, искать нестандартные способы решения проблем, от конструктивного взаимодействия с людьми.
Отбор содержания данного элективного курса продиктован идеями организации проблемного обучения, а также задачами вариативного решения уравнений и неравенств определённого вида.
В качестве форм и методов организации учебных занятий предполагается организация практикумов, бесед, создание проблемных ситуаций, организация обобщения, самостоятельной работы, консультаций, исследовательских работ.
Итоговый и промежуточный контроль результатов обучения предполагает оценку участия в беседах на каждом занятии, наличие отчёта по решению ключевых задач курса, выполнение зачётной работы.
В результате изучения курса учащиеся приобретают навыки:
решения нестандартных рациональных уравнений и неравенств ;
решения нестандартных иррациональных, логарифмических, показательных, тригонометрических уравнений ;
решения уравнений, содержащих знак модуля;
решения уравнений и неравенств с параметром как аналитически, так и графически;
решения геометрических задач;
применения аппарата алгебры и математического анализа при решении прикладных задач.
Данный курс рассчитан на 136 часов, из них 68 часа в 10 классе и 68 часа в 11 классе.
Преподавание курса строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения уравнений, неравенств и систем, геометрических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся. Тематика решаемых заданий не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности – повышенный, существенно превышающий обязательный. Особое место занимают задания, требующие применения учащимися знаний в незнакомой (нестандартной) ситуации, (задачи с параметрами и др.).
Содержание курса
10 КЛАСС.
1.Числа и их свойства (11 часов).
Числа и их свойства. Числовые наборы на карточках и досках. Последовательности и прогрессии. Сюжетные задачи.
П. Алгебраические уравнения, неравенства, системы (24 часа).
Основные принципы решения уравнений: равносильные преобразования, при которых возможно появление посторонних корней, исключение посторонних корней.
Основные методы решения уравнений: разложение на множители, замена неизвестного.
Иррациональные алгебраические уравнения: основные понятия и принципы решения; область определения уравнения; преобразование иррациональных уравнений (возведение в квадрат, в куб).
Системы уравнений, общие принципы и основные методы решения: алгебраические преобразования систем, подстановка, исключение неизвестных, разложение на множители, замена неизвестных.
Симметричные системы.
Алгебраические уравнения, сводящиеся к системам уравнений.
Общие принципы решения неравенств.
Основной метод решения неравенств – метод интервалов.
Иррациональные неравенства и методы их решения.
Уравнения и неравенства с модулями.
Ш. Решение планиметрических задач (11 ч.)
Планиметрические задачи из ЕГЭ: треугольники, нахождение сторон, углов, площадей треугольников, Вписанные в окружность и описанные около окружности треугольники.
Четырехугольники, нахождение сторон, углов, площадей параллелограммов, трапеции., Вписанные в окружность и описанные около окружности Четырехугольники.
IY. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства (11 часов).
Основные принципы и методы решения показательных и логарифмических уравнений: логарифмирование и потенцирование уравнений, переход к одному основанию, типичные замены.
Показательные и логарифмические неравенства, основные методы решения: логарифмирование и потенцирование неравенств, замена неизвестного, метод интервалов.
Y. Стереометрия. Многогранники (10 час.)
Призмы и пирамиды. Нахождение неизвестных элементов призм и пирамид. Сечения многогранников. Нахождение площадей сечений.
11 КЛАСС
1.Тригонометрические уравнения (12 часов).
Основные методы решения тригонометрических уравнений: разложение на множители, замена неизвестного (наиболее распространённые виды замен, универсальная замена). Некоторые частные типы тригонометрических уравнений. Отбор корней в тригонометрических уравнениях и запись решений.
Уравнения смешанного типа.
II. Финансовая математика (6 часов).
Задачи на оптимальный выбор. Банки, вклады и кредиты. Методы их решения.
III. Неравенства (15 час.)
Рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические неравенства. Неравенства с модулями
IY. Стереометрические задачи (10часов).
Задачи на нахождение угла между скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями.
Расстояние от точки до прямой и плоскости. Расстояние между прямыми и плоскостями.
Сечения многогранников. Нахождение их площадей. Объемы многогранников.
Круглые тела (цилиндр, конус, шар). Объемы тел вращения.
Y. Задачи с параметрами (10 часов).
Уравнения и неравенства, решение которых основано на использовании монотонности и ограниченности входящих в них функций.
Нестандартные по формулировке задачи, связанные с уравнениями и неравенствами: нахождение числа корней, определение целочисленных корней и др.
Уравнения, системы уравнений и неравенства с параметрами. Запись ответа. Аналитические методы решения. Разрешение уравнения относительного параметра.
Графические методы решения и исследования в задачах с параметрами.
Уравнения, системы уравнений и неравенства с параметрами, в которых требуется определить зависимость числа решений от параметра, значения параметра, при которых решение удовлетворяет заданным условиям. Задачи с логическим содержанием.
YI. Задачи из планиметрии (10 часов).
Многоугольники и их свойства.
Окружности и треугольники. Окружности и четырехугольники. Окружности и системы окружностей.
Задачи на доказательство и вычисления.
YII. Теория чисел (5 час.)
Задачи типа №19 ЕГЭ.
Программно-методическое обеспечение
1. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие
для 10 классов средней школы. М: �Просвещение�, 1989.
2. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие
для 11 классов средней школы. М: �Просвещение�, 1991.
3. Шестаков С.А, Е.В. Юрченко. Уравнения с параметром. М: 1993.
4. Зив Б.Г. �Задачи по алгебре и началам анализа�. Санкт-Петербург, НПО �Мир и се
мья-95�, 1997.
5. Сквашинский И.Х. Неравенства в задачах. М: �Наука�, 1967.
6. Бородуля И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства. М: �Просвещение�,
1989.
7. Бородуля И.Т. Показательная и логарифмическая функции (Задачи и упражнения).
М: �Просвещение�, 1984.
8. Калугина Е.Е. Уравнения, содержащие знак модуля. (Математика: элективный курс). М: �ИЛЕКСА�.
Интернет-ресурсы:
mioo.ru
ege.edu.ru
fipi.ru
reshuege.ru
mathege.ru
alexlarin.net
vestnik.edu.ru
Тематическое планирование элективного курса по математике. 10 класс
№п/п
Название темы
Дата
план.
Дата
факт.
Примечание
Числа и их свойства—11 час.
Числа и их свойства.
Метод математической индукции.
Метод математической индукции.
Доказательство числовых неравенств
Доказательство числовых неравенств
Делимость целых чисел
Задачи с целочисленными неизвестными
Последовательности и прогрессии.
Последовательности и прогрессии.
Сюжетные задачи.
Сюжетные задачи.
Алгебраические уравнения, неравенства, системы - 24 час.
Рациональные выражения. Формула бинома Ньютона.
Формулы суммы и разности степеней.
Деление многочленов. Алгоритм Евклида.
Теорема Безу.
Корень многочлена.
Рациональные уравнения, исключение посторонних корней.
Рациональные уравнения, исключение посторонних корней.
Рациональные уравнения, исключение посторонних корней.
Иррациональные уравнения
Иррациональные уравнения
Системы уравнений, общие принципы и основные методы решения:
Системы уравнений, общие принципы и основные методы решения:
Симметричные системы.
Алгебраические уравнения, сводящиеся к системам уравнений.
Алгебраические уравнения, сводящиеся к системам уравнений.
Общие принципы решения неравенств.
. Рациональные неравенства.
Метод интервалов.
Рациональные неравенства.
Метод интервалов.
Системы рациональных неравенств.
Иррациональные неравенства и методы их решения.
Иррациональные неравенства и методы их решения.
Уравнения и неравенства с модулями.
Уравнения и неравенства с модулями.
Уравнения и неравенства с модулями.
Решение планиметрических задач - 11
Треугольники и их виды.
Пропорциональные отрезки в треугольнике
Свойство биссектрисы треугольника.
Треугольники, вписанные в окружность.
Треугольники, описанные около окружности.
Параллелограммы и их свойства.
Параллелограммы и их свойства.
Трапеции и их свойства.
Вписанные в окружность и описанные около окружности четырехугольники.
Решение задач типа №16 из ЕГЭ
Решение задач типа №16 из ЕГЭ
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства — 11час.
Нестандартные показательные уравнения
Нестандартные показательные уравнения
Способы решения показательных неравенств
Способы решения показательных неравенств
Нестандартные логарифмические уравнения.
Нестандартные логарифмические уравнения.
Логарифмические неравенства
Логарифмические неравенства
Логарифмические неравенства
Смешанные неравенства
Смешанные неравенства
Стереометрия. Многогранники – 10 ч.
Параллелепипед. Элементы параллелепипеда.
Параллелепипед. Сечения параллелепипеда.
Параллелепипед. Сечения параллелепипеда.
Прямая призма. Элементы призмы.
Прямая призма. Сечения призмы.
Прямая призма. Сечения призмы. Нахождение площади сечений.
Наклонная призма.
Пирамида и ее элементы.
Пирамида. Сечение пирамиды.
Нахождение площади сечений пирамиды.
Решение стереометрических задач ЕГЭ.
Тематическое планирование элективного курса по математике, 11 класс
№п/п
Название темы
Дата
план.
Дата
факт.
Примечание
Тригонометрические уравнения— 9 час.
Решение тригонометрических уравнений с помощью разложения на множители.
Решение тригонометрических уравнений с помощью разложения на множители.
Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного, универсальная замена
Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного, универсальная замена
Отбор корней в в тригонометрических уравнениях. Запись ответов.
Отбор корней в в тригонометрических уравнениях. Запись ответов.
Смешанные уравнения.
Финансовая математика – 5 час.
Задачи на оптимальный выбор и способы их решения.
Задачи на оптимальный выбор и способы их решения
Задачи на вклады, кредиты. Способы их решения.
Задачи на вклады, кредиты. Способы их решения.
Задачи на вклады, кредиты. Способы их решения.
Задачи с параметрами — 9 час.
Функции, зависящие от параметра.
Квадратные уравнения с параметром.
Квадратные уравнения с параметром.
Дробно-рациональные уравнения с параметром.
Дробно-рациональные уравнения с параметром.
Уравнения с параметром
Системы линейных уравнений с параметром.
Решение неравенств с параметром.
Решение неравенств с параметром.
Стереометрические задачи – 8час.
Решение задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.
Решение задач на нахождение угла между прямой и плоскостью.
Решение задач на нахождение угла между прямыми.
Решение задач на нахождение расстояния от точки до прямой и до плоскости.
Решение задач на нахождение расстояния между прямыми и плоскостями.
Сечение многогранников и нахождение площадей сечений.
Решение задач на нахождение объемов многогранников.
Круглые тела.
Задачи из планиметрии – 5 час.
Многоугольники и их свойства.
Окружности и треугольники.
Окружности и четырехугольники.
Окружности и системы окружностей.
Задачи на доказательства и вычисления.
Итого:
34 час