Публикации Решение нестандартных задач при подготовке к математическим олимпиадам

Всероссийский сборник статей и публикаций института развития образования, повышения квалификации и переподготовки.

Язык издания: русский
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: Решение нестандартных задач при подготовке к математическим олимпиадам
Автор: Меньшиков Александр Викторович

РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ ПРИПОДГОТОВКЕ К ОЛИМПИАДАМ ПО МАТЕМАТИКЕОлимпиады готовят обучающихся к жизни в современных условиях, в условиях конкуренции. Победы учащихся на олимпиадах международного и всероссийского уровней являются достаточным основанием для зачисления в вуз на льготных условиях. Как добиться успешного участия школьника в математической олимпиаде? А как добиться хороших результатов в спорте? Тренироваться, тренироваться и ещё раз тренироваться.Каждый год в школе проводится I тур математической олимпиады, затем муниципальный и т. д. А олимпиадные задачи, как правило, являются нестандартными, т. е. требующими использования всех знаний в нестандартных ситуациях. Еще в позднегреческой математике, уже знакомой с пособиями типа евклидовых «Начал», значительное место принадлежало и сборникам математических развлечений и занимательным задачам. Прошли века, но интерес к занимательным математическим задачам не угас. Какая же задача называется нестандартной? Нестандартные задачи - это такие задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения. Однако, следует заметить, что понятие «нестандартная задача» является относительным. Одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной, в зависимости от того, знакомы ли мы со способами решения задач такого типа. Таким образом, нестандартная задача- это задача, алгоритм которой неизвестен, т. е. неизвестен ни способ её решения, ни то, на какой учебный материал опирается решение. А многие задачи требуют и специальных знаний, подготовки. К таким задачам относятся задачи на применения инвариантов, задачи на раскраски, чет и нечет. Конечно, для успешного решения любой задачи нужно уметь думать, догадываться, но этого мало. Нужны знания и опыт в решении задач. Полезно владеть и определенными общими подходами к решению таких задач. Поэтому мы решили разобраться в решении этих задач, попробовать их исследовать, найти общие подходы. Любая задача должна чему-нибудь научить. Решение каждой задачи должно быть шагом вперед в развитии математических знаний, умений и навыков, должно обогащать знания и опыт, учить ориентироваться в различных ситуациях.Две стихии господствуют в математике - числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. Задача - это почти всегда поиск, раскрытие каких-то свойств и отношений, а средства её решения - это интуиция и догадка, эрудиция и владение методами математики.Само возникновение понятия числа - одно из гениальнейших проявлений человеческого разума. Действительно, числа помогают не только что-то измерять, сравнивать, вычислять, но даже рисовать, сочинять, делать умозаключения, выводы.Что необходимо школьнику для успешного участия в интеллектуальном состязании? Учитывая особенности математики как естественной науки, можно выделить три составляющих такого успеха:

развитый математический кругозор;

умение решать нестандартные задачи, владение необходимым для этого математическим аппаратом;

практические умения и навыки, знание основных приемов, способов решения математических задач.

Эти ключевые моменты и определяют основные направления подготовки школьника. Немаловажным моментом подготовки учащихся к олимпиадам по математике является формирование умения определять уровень сложности задачи, для распределения времени при выполнении заданий на самом конкурсе. Сложность - это объективная характеристика задачи, определяемая ее структурой. А также определить примерный уровень сложности задачи можно по указанному к ней количеству баллов. Учителю математики, занимающемуся подготовкой учащихся к олимпиадам, также необходимо учитывать, что такая субъективная характеристика как трудность задачи, прежде всего, зависит от наличия практики в решении подобного рода задач. Начинать организацию школьного олимпиадного движения по математике необходимо, по моему мнению, не со школьной олимпиады и даже не с работы предметного кружка, а прежде всего с психологической диагностики учащихся по выявлению их способностей по данному предмету. Цель диагностики: получить точные представления о динамике развития интеллектуально-творческого потенциала личности каждого ребенка, что позволяет более объективно строить прогноз дальнейшего развития, не потерять «потенциально одаренных, то есть тех, чья одаренность еще не выявлена?В младшем возрасте, как правило, это интерес к математике как любимому учебному предмету, в среднем и старшем — это либо интерес к математике как науке, либо профессионально-ориентационный, связанный с предполагаемой деятельностью после школы. На следующем шаге необходимо организовать в каждом классе группу детей, желающих получать дополнительные знания и подготовку по предмету, при этом, не забывая о том, что учащиеся, не посещающие занятий, являются резервом данного направления и также требуют к себе пристального внимания.Одновременно с выявлением школьников интересующихся математикой и формированием этого интереса, должно происходить создание творческой группы, команды школьников готовящихся к конкурсам, олимпиадам. Несмотря на то, что основной формой подготовки школьников к конкурсам, олимпиадам является индивидуальная работа, наличие такой команды имеет большое значение. Она позволяет реализовать взаимопомощь, передачу опыта участия в конкурсах, психологическую подготовку новых участников. Наличие группы школьников, увлеченных общим делом, служит своеобразным центром кристаллизации, привлекающих новых участников. Это позволяет также уменьшить нагрузку учителя, так как часть работы по подготовке младших могут взять на себя старшие, и, обучая других, они будут совершенствовать и свои знания. Наконец, в такой группе будет работать принцип "соленого огурца" (В.Ф. Шаталов): постоянно находясь в атмосфере решения проблем, методов решения задач, обсуждения, любой школьник будет даже неосознанно впитывать новые знания, умения, психологические установки. При планировании работы с группой школьников следует избегать излишней заорганизованности. Учитывая разный возраст и разный уровень подготовки, оптимальным будет построение индивидуальных образовательных траекторий для каждого участника, причем ученику должна быть предоставлена и свобода выбора этой траектории. Отсюда вытекает свободное посещение и продолжительность занятий, свободный выбор типа задач, разделов для изучения, используемых пособий. Ученик может прийти на занятие, чтобы получить краткую консультацию и задание для индивидуальной работы, чтобы порешать задачи определенного типа, разобрать теоретический вопрос, полистать необходимую литературу, поработать за ПК, просто пообщаться. Но, несмотря на свободное посещение занятий, учитель вправе спросить ученика, что он сделал и собирается сделать сегодня? Сколько и каких задач решил за последнюю неделю? Какую математическую книгу прочитал и что извлек из нее? Похвалить старательного или заставить задуматься, растет ли ученик дальше, или остановился в своем развитии - вот задачи учителя. Разумеется, в беседах со школьником (и, в случае необходимости, с его родителями) учитель должен подчеркивать важность постоянной настойчивой работы для достижения серьезных жизненных интересов. Хочется заметить, что наличие группы школьников не означает преобладания групповых форм работы. Такие формы должны быть краткими, и наиболее интересными для всех присутствующих. Возможен разбор интересных большинству теоретических вопросов, задач. Интересным для всех может служить рассказ об итогах прошедшего конкурса, своеобразный самоотчет ее участников. В формировании математического кругозора решающая роль принадлежит разнообразной математической литературе. На начальных этапах возникновения интереса к математике это может быть научно-популярная литература, книги об интересных математических открытиях, о знаменитых ученых и т.п. Одним из способов эффективной подготовки является целевое изучение математической литературы. Цели могут ставиться различные, как правило, это обобщение, систематизация материала. Это может быть создание опорных схем, таблиц отражающих свойства различных геометрических фигур или областей их применения, исследования по истории науки и т.д. В поисках необходимой информации "перелопачиваются" самые различные источники, приобретаются необходимые умения, а создаваемые при этом продукты затем используются как справочные материалы при анализе сложных задач. Книг, посвященных решению задач, в том числе и олимпиадных, достаточно много. Много подборок задач различной сложности можно найти в журналах, газетах, размещаются они и на Интернет-ресурсах. И в этом море задач тоже желательно иметь ориентиры, цели, чтобы их решение не отбило интерес к математике, и максимально эффективно вело к основной цели: научить обучающегося самостоятельно находить способ решения самых разнообразных задач. В ряде задач встречается следующая ситуация. Некоторая система последовательно изменяет своё состояние, и требуется выяснить нечто о её конечном состоянии. Полностью проследить за всеми переходами может оказаться делом сложным, но иногда ответить на требуемый вопрос помогает вычисление некоторой величины, характеризующей состояние системы и сохраняющейся при всех переходах (такую величину называют инвариантом для рассматриваемой системы). Ясно, что тогда в конечном состоянии значение инварианта будет то же самое, что и в начальном, т. е. система не может оказаться в состоянии с другим значением инварианта. На практике этот метод сводится к тому, что некоторая величина вычисляется двумя способами: сначала она просто вычисляется в начальном и конечном состояниях, а затем прослеживается её изменение при последовательных мелких переходах. Наиболее простым и часто встречающимся инвариантом является четность числа; инвариантом может быть также и остаток от деления не только на 2, но и на какое-нибудь другое число. Для построения инвариантов иногда бывают полезны вспомогательные раскраски, т. е. разбиения рассматриваемых объектов на несколько групп (каждая группа состоит из объектов одного цвета).Примеры:

Можно ли все натуральные числа от 1 до 65 разбить на несколько групп так, чтобы в каждой группе наибольшее число равнялось сумме других чисел группы?

Решение: Предположим, что можно. Тогда в каждой группе сумма чисел должна быть четным числом. Тогда, сумма чисел от 1 до 65 тоже должна быть четной. Но, сумма 1+2+…+65 = 65*33 – нечетная, что противоречит нашему предположению. Вывод – нельзя.

На плоскости лежат три шайбы А, В и С. Хоккеист бьёт по одной из шайб так, чтобы она прошла между двумя другими и остановилась в некоторой точке. Могут ли все шайбы вернуться на свои места после 25 ударов?

Решение: Нет, не могут. После каждого удара изменяется ориентация (т. е. направление обхода) треугольника АВС. Даже если шайбы будут проходить одинаковый путь, то они не вернутся на свои первоначальные места, т. к. число 25 не делится на 3.

Можно ли окрасить на клетчатой бумаге 25 клеток так, чтобы у каждой из них было нечётное число окрашенных соседей? (Соседними клетками считаем те, у которых есть общая сторона.)

Решение: Пусть на клетчатой бумаге окрашено несколько клеток и n-число окрашенных клеток, имеющих ровно k окрашенных соседей. Пусть N – число общих сторон окрашенных клеток. Так как каждая из них принадлежит ровно двум окрашенным клеткам, то N=(n1+2n2+3n3+4n4)/2= (n1+n3)/2+n2+n3+2n4. Поскольку N – целое число, то число n1 + n3 четно.Мы доказали, что число окрашенных клеток, имеющих нечетное число окрашенных соседей, всегда четно. Поэтому нельзя окрасить 25 клеток так, чтобы у каждой из них было нечетное число окрашенных соседей.

Окружность разбита точками на 3k дуг: по k дуг длиной 1,2 и 3. Докажите, что найдутся две диаметрально противоположные точки деления.

Решение: Предположим, что окружность разбита на дуги указанным образом, причем диаметрально противоположных точек деления нет. Тогда против концов любой дуги длиной 1 не лежат точки разбиения, поэтому против неё лежит дуга длиной 3. Выбросим одну из дуг длиной 1 и противолежащую ей дугу длиной 3. При этом окружность разбивается на две дуги. Если на одной из них лежит m дуг длиной 1 и n дуг длиной 3, то на другой лежит m дуг длиной 3 и n дуг длиной 1. Общее количество дуг длиной 1 и 3, лежащих на этих двух « больших » дугах, равно 2(k-1), поэтому n+m=k-1. Так как, кроме дуг длиной 1 и 3, есть дуги только с четной длиной, то четность длины каждой из двух рассматриваемых дуг совпадает с четностью числа k-1. С другой стороны, длина каждой из них равна (6k-1-3)/2=3k-2. Получено противоречие, так как числа k-1 и 3k-2 имеют разную четность.

Вершины правильного 2n-угольника А1…А2n разбиты на n пар. Докажите, что если n=4m+2 или n=4m+3, то две пары вершин являются концами равных отрезков.

Решение: Предположим, что все пары вершин задают отрезки разной длины. Отрезку ApAq поставим в соответствие наименьшее из чисел |p-q| и 2n-|p-q|. В результате для данных n пар вершин получим числа 1, 2…, n; пусть среди этих чисел k четных и n-k нечетных. Нечетным числам соответствуют отрезки ApAq, где числа p и q разной четности. Поэтому среди вершин остальных отрезков будет k вершин с четными номерами и k вершин с нечетными номерами, причем отрезки соединяют вершины с номерами одной четности. Следовательно, число k четно. Для чисел n вида 4m, 4m+1, 4m+2 и 4m+3 количество k четных чисел равно 2m, 2m+1, 2m+2, 2m+3 соответственно, поэтому n=4m или n=4m+1.

Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой-либо горизонтали или вертикали. Может ли при этом получиться доска, у которой ровно одна черная клетка?

Решение: При перекрашивании горизонтали или вертикали, содержащей k черных и 8-k белых клеток, получится 8-k черных и k белых клеток. Поэтому число черных клеток изменится на (8-k)-k=8-2k, т. е. на четное число. Так как четность числа черных клеток сохраняется, из исходных 32 черных клеток мы не сможем получить одну черную клетку.