Публикации
Решение неравенств с параметром
Всероссийский сборник статей и публикаций института развития образования, повышения квалификации и переподготовки.
Скачать публикацию
Язык издания: русский
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: Решение неравенств с параметром
Автор: Абрамова Валентина Викторовна
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: Решение неравенств с параметром
Автор: Абрамова Валентина Викторовна
Обобщение и систематизация знаний и умений по теме «Уравнения и неравенства с параметрами» при подготовке к единому государственному экзамену.В приведенной разработке рассмотрены решения различных уравнений с параметром по принципу – от простого к сложному. Существует несколько правил, которых лучше придерживаться при решении уравнений (неравенств) с параметрами:- Любое уравнение или неравенство с параметрами можно решать как обычное уравнение или неравенство до тех пор, пока все рассуждения или преобразования, необходимые для решения, можно выполнять однозначно. Если какое-то преобразование нельзя выполнить однозначно, то решение необходимо разбить на несколько случаев, чтобы в каждом из них ответ через параметры записывался однозначно.- Особенности решений уравнений с параметрами по сравнению с уравнения не содержащими параметров, в основном сходятся к двум условиям:Кроме отыскания области D определения уравнения указываются также области изменения D1, D2 ... для каждого из параметра а1, а2 соответственно Для любого найденного корня указываются области изменения параметров а1, а2 …при которых данный корень входит в решение уравнения. - Обратите внимание, что для отыскания множества значений параметра, при котором существуют корни уравнения, необходимо, помимо рассмотрения условий, при которых существует уравнение в зависимости от параметров и условий, входящих в область определения D уравнения, рассматривать также и условия существования корней.- В некоторых случаях условия, которым должны удовлетворять параметры, чтобы уравнение существовало, трудно указать при рассмотрении исходного уравнения, и они определяются или уточняются в процессе решения уравнения. - В конце решения обязательно исследуем найденные корни.Повторять материал стоит начать с самых простых и понятных квадратных уравнений.При каком значении параметра а корни уравнения находятся в интервале Начинаем стандартно решать уравнение : Мы видим, что при корни х1 и х2 имеют разные знаки и не могут одновременно попасть в положительный интервал, если же , то уравнение имеет один корень х Ответ: решения нет, если и если же , то уравнение имеет один корень х .При каком значении параметра корни уравнения находятся в интервале [1; 2] Стандартно решаем уравнение : Находим значение параметра, при котором корни уравнения попадают в заданный интервалскладываем первое и второе неравенство, получаем далее Ответ: если то [1; 2]При каком значении параметра корни уравнения будут равны?Если дискриминант равен 0, тогда Видим, что , если , Ответ: если , то корни уравнения будут равны При каком значении параметра корни уравнения будут действительными числами? Определяем сначала область изменения D для параметра : . Корни уравнения будут действительными числами если дискриминант , находим D : и решаем уравнениеОтвет: если параметр , то уравнение будет иметь два действительных корня. При каком значении параметра корни уравнения будут иметь два отрицательных корня? Чтобы найти ответ, нужно перечислить условия, по которым мы будем искать корни (вспоминаем теорему Виета), это положительный дискриминант, чтобы было два корня, произведение двух отрицательных чисел есть положительное число, поэтому коэффициент с= х1 ·х2 приведенного квадратного уравнения с>0 сумма двух отрицательных чисел является отрицательное число, следовательно коэффициент -в= х1 + х2 приведенного квадратного уравнения в<0 В ответе пересекаем промежутки , и определяемсяОтвет: уравнение имеет два отрицательных корня, если Уравнения с модулемРешить уравнение |x+ |=2 По параметру нет никаких ограничений , решаем обычно:х+ =2, х+ =-2 и далее х1=2- или х2= -2-Ответ: для любого значения параметра а уравнение имеет два корня х1=2- или х2= -2-Решить уравнение |1-x|= Параметр а равен модулю, итак и далее согласно определению модуля: 1-х= или 1-х=- , откуда х1=1- или х2=1+Ответ: при условии уравнение имеет два решения х1=1- или х2=1+Какое количество решений может иметь уравнение в зависимости от значения параметра . Решение будем искать графически.Построим графики функций Начинаем с построения графика – вершина параболы имеет координаты (4;-4), корни x1 =2 и x2 =6, график пересекает ось у в точке у=12Последовательно преобразуем график функции отображая симметрично часть графика при относительно - оси y отображаем симметрично часть графика при относительно - оси хДобавляем различные варианты расположения прямой и определяемся с ответом:Если то уравнение не имеет решения;Если та то уравнение имеет 4 решения;Если 0 то уравнение имеет 8 решений;Если то уравнение имеет 6 решений;Если то уравнение имеет 3 решения;Если то уравнение имеет 2 решения.4. При каком значении параметра a уравнение имеет одно решение Определяем область допустимых значений для параметра Если записать , тогда будем решать это уравнение с помощью графиков Разбиваем решение на две части: учитывая определение модуля имеет вершину в точке и выполняем построение графика Учитывая знак параметра имеем два варианта расположения графиков: Видим на рисунке, что можем иметь один корень при условии Неравенство выполняется, если , поэтому первая система имеет это решение.Решение второй системы Также рассматриваем условие Имеем единственное решение, если Первая система: якщо , Решение этого неравенства и с учетом условия, что a<0 система имеет решение У второй системы получили несовместимые условия и она решений не имеет.В заключение рассмотрим условие , при котором уравнение примет вид , или Первое уравнение не имеет корней, второе – два корня, что нам не подходит по условию.Итак, объединяем промежутки из пунктов 1) и 2) и получаем окончательный ответ:Уравнение будет иметь один корень, если параметрИррациональные уравнения с параметрами. При каком значении параметра уравнение имеет действительные корни ?Определяем область допустимых значений для : Определяем область допустимых значений для параметра aИсследуем, Итак, квадратичное неравенство выполняется для любого aРешить уравнение Решаем наше уравнение, находим корень ОпределяемсяС параметром , при условии : Ответ: уравнение имеет один корень: , если Решить уравнение Условия существования или Находим корень или В этом месте имеем дополнительное условие по параметру : и имеем Проверяем условияУсловие 2) выполняется для любого значения параметра Условие 3) Объединяем условия и записываем ответ: Уравнение имеет один корень , если нет корней, если Интересные уравнения с параметром:Решить уравнение с параметром Условия Преобразовываем далее – биквадратное уравнение Пусть находим откуда откуда Сейчас возвращаемся назад к области допустимых значений и проверяем выполнение . Итак, ответ або Решить уравнение с параметром Область допустимых значений Рассмотрим варианты1) нет корней2) x-3=2p+2x=2p+5 имеем одно решение при выполняем стандартные действия для решения рационального уравнения та Ответ: если , то уравнение не имеет коней, при имеем одно решение , при два корня и
