Публикации Логарифмическое уравнение

Всероссийский сборник статей и публикаций института развития образования, повышения квалификации и переподготовки.

Язык издания: русский
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: Логарифмическое уравнение
Автор: Джелилова Лиля Энверовна

Конспект урока по алгебре для 10 классаТема: Логарифмические уравненияЦель урока: повторить понятие и свойства логарифма; изучить способы решения логарифмических уравнений и закрепить их при выполнении упражнений.Задачи урока:

обучающие: повторить определение и основные свойства логарифмов, научиться применять их при вычислении логарифмов и решении логарифмических уравнений;

развивающие: развивать логическое мышление, память, внимание, культуру математической речи;

воспитательные: воспитывать настойчивость и самостоятельность, прививать интерес к предмету.

Тип урока: формирование новых знаний.Ход урока1. Организационный момент (2–3 мин)

Приветствие.

Проверка готовности класса к уроку.

Объявление темы и целей урока.

2. Проверка домашнего задания (5–7 мин)

Опрос по выполненному домашнему заданию.

Краткий фронтальный опрос по предыдущим темам (свойства логарифмов).

3. Актуализация опорных знаний (10 мин)Вопросы для повторения:

Дайте определение логарифма.

От любого ли числа можно найти логарифм?

Какое число может стоять в основании логарифма?

Функция y=log0,8x является возрастающей или убывающей? Почему?

Какие значения может принимать логарифмическая функция?

Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?

Назовите основные свойства логарифмов.

Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать?

4. Изучение нового материала (15–20 мин)Определение: уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.Простейший вид: logax=b, где a>0, a=1, x>0.Основные методы решения логарифмических уравнений:

По определению логарифма. Применяется к уравнениям вида logaf(x)=b. Решение: f(x)=ab.

Пример 1. Решить уравнение log2x=3.

Решение: по определению логарифма x=23=8.

Проверка ОДЗ: x>0 → 8>0 — верно.

Ответ: x=8.

Метод потенцирования. Используется для уравнений вида logaf(x)=logag(x). Переход к f(x)=g(x) при условии f(x)>0, g(x)>0.

Пример 2. Решить уравнение log3(x+1)=log3(2x−5).

ОДЗ: x+1>0 и 2x−5>0 → x>−1 и x>2,5 → x>2,5.

Потенцируем: x+1=2x−5 → x=6.

Проверка: 6>2,5 — подходит.

Ответ: x=6.

Применение основного логарифмического тождества: alogab=b (при a>0, a=1, b>0).

Пример 3. Решить уравнение 5log5(x2−2)=7.

По тождеству: x2−2=7 → x2=9 → x=±3.

Проверка ОДЗ: x2−2>0 → оба корня подходят.

Ответ: x1=3, x2=−3.

Приведение логарифмов к одному основанию. Используется, если в уравнении логарифмы с разными основаниями.

Формула перехода: logab=logcalogcb.

Пример 4. Решить уравнение log2x+log4x=6.

Приводим к основанию 2: log4x=log24log2x=21log2x.

Уравнение: log2x+21log2x=6 → 23log2x=6 → log2x=4 → x=16.

Проверка ОДЗ: x>0 → верно.

Ответ: x=16.

Замена переменной. Применяется, если уравнение содержит повторяющиеся логарифмические выражения.

Пример 5. Решить уравнение (log2x)2−3log2x−4=0.

Замена: t=log2x, тогда t2−3t−4=0 → корни t1=4, t2=−1.

Возвращаемся к x: log2x=4 → x=16; log2x=−1 → x=21.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ (x>0).

Ответ: x1=16, x2=21.

5. Закрепление изученного материала (15 мин)Упражнения для самостоятельной работы (с последующей проверкой у доски):

log5x=2.

log7(x−1)=log73.

2log2(x+3)=5.

log3x+log9x=4.

(log4x)2+log4x−2=0.

6. Подведение итогов урока (3–5 мин)

Обсуждение: какие методы решения логарифмических уравнений были изучены?

Оценка работы класса.

Ответы на вопросы учеников.

7. Домашнее задание

Выучить определения и методы решения.

Решить уравнения:

log6x=−1;

log2(x+4)=log2(3x−2);

(log3x)2−2log3x−3=0.

Повторить свойства логарифмов.