Всероссийский сборник статей и публикаций института развития образования, повышения квалификации и переподготовки.

Методическая разработка урока математики
Геометрия Родины; �Вписанные и Описанные Четырехугольники как
Символ Единства и Гармонии�
Тема урока: Вписанные и описанные четырёхугольники, их признаки и свойства.
Предмет: Математика.
Класс: 8
Тип урока: урок изучения нового материала с элементами практического применения и патриотического воспитания.
Цели урока:
1. Образовательные:
cформировать понятия "вписанный четырёхугольник" и "описанный четырёхугольник";
изучить и закрепить признаки и свойства вписанных и описанных четырёхугольников;
научить применять полученные знания для решения задач.
2. Развивающие:
развивать логическое мышление, пространственное воображение, умение анализировать, сравнивать, обобщать;
развивать навыки самостоятельной работы и работы в группе;
формировать умение чётко и грамотно излагать свои мысли.
3. Воспитательные:
патриотическое воспитание: формирование чувства гордости за свою Родину, её историю и культуру через ассоциации с геометрическими формами и их применением в архитектуре и символике;
воспитание интереса к предмету, аккуратности, внимательности;
формирование ответственного отношения к учёбе.
Методы обучения:
словесные (беседа, рассказ, объяснение);
наглядные (презентация, демонстрация моделей, чертежи);
практические (решение задач, работа с учебником, выполнение заданий);
проблемно-поисковые.
Формы организации учебной деятельности:
фронтальная;
индивидуальная;
групповая.
Оборудование:
мультимедийный проектор, экран;
презентация к уроку (с изображениями архитектурных сооружений, гербов, флагов, содержащих элементы четырёхугольников, а также иллюстрациями к теоремам);
учебник математики;
раздаточный материал (карточки с заданиями, схемы):
листы бумаги, карандаши, линейки;
(Опционально) Модели четырёхугольников.
План урока:
I. Организационный момент (2-3 мин)
Приветствие.
Проверка готовности учащихся к уроку.
Создание позитивного настроя.
II. Актуализация опорных знаний (5-7 мин)
Беседа с классом
Вписанные четырехугольники: единство в многообразии
"Представьте себе круг – символ единства, целостности. В него можно вписать множество различных четырехугольников: квадраты, прямоугольники, трапеции, произвольные фигуры. Каждый из них уникален, имеет свои особенности, но все они объединены одним – они вписаны в круг, подчиняются его законам.
Так и наша страна – это многообразие культур, народов, традиций. Каждый регион, каждый человек уникален, но все мы объединены общей историей, общей культурой, общей любовью к Родине.
Ребята, мы с вами уже изучали различные геометрические фигуры. Какие фигуры вы помните?" (Треугольники, четырёхугольники, окружности).
"Какие виды четырёхугольников вы знаете?" (Квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, трапеция).
"Что такое вписанная окружность? Описанная окружность?"
"Какие свойства известных вам четырёхугольников вы можете назвать?"
Задание на повторение (устно или на доске)
Начертить квадрат, прямоугольник, ромб. Назвать их свойства.
"Как вы думаете, могут ли четырёхугольники быть связаны с окружностью?"
III. Мотивация учебной деятельности. Постановка целей урока (3-5 мин)
Слово учителя (с элементами патриотического направления):
"Сегодня мы с вами отправимся в увлекательное путешествие по миру геометрии, но не просто так, а с целью увидеть, как эта красивая и точная наука связана с нашей Родиной, с её историей и культурой. Посмотрите на эти изображения." (Демонстрация слайдов с изображениями)
"Кремлёвские стены и башни. Многие из них имеют форму четырёхугольников или содержат элементы, основанные на них.
Купола православных храмов часто имеют круглую или многогранную форму, но основание может быть связано с четырёхугольником.
Гербы городов и регионов России. Многие гербы содержат изображения щитов, которые часто имеют форму четырёхугольников, или символы, расположенные внутри них.
Флаг Российской Федерации представляет собой прямоугольник.
Архитектурные элементы зданий: окна, двери, фасады часто имеют форму четырёхугольников.
Все эти объекты, будь то величественные стены Кремля, изящные купола храмов, строгие формы гербов или даже наш государственный флаг, демонстрируют нам, как геометрия, и в частности, четырёхугольники, являются неотъемлемой частью нашей культуры, архитектуры и символики. Они не просто красивые формы, они несут в себе глубокий смысл, отражают историю и дух нашего народа. Сегодня мы с вами будем изучать особые четырёхугольники – те, которые тесно связаны с окружностью. Мы узнаем, какие условия должны выполняться, чтобы четырёхугольник можно было вписать в окружность или чтобы в него можно было вписать окружность. Эти знания помогут нам не только решать математические задачи, но и глубже понимать гармонию и логику, заложенные в окружающем нас мире, в том числе и в творениях рук человека, прославляющих нашу Родину.
Итак, тема нашего урока: "Вписанные и описанные четырёхугольники, их признаки и свойства". Наша цель – понять эти понятия, научиться применять их и увидеть их красоту и значимость в контексте нашей великой страны."
IV. Изучение нового материала (15-20 мин)
1. Вписанный четырёхугольник:
Определение: "Четырёхугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности." (Демонстрация слайда с изображением вписанного четырёхугольника).
Свойство вписанного четырёхугольника (Теорема): "Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180�."
Доказательство (кратко, с опорой на свойства вписанных углов): учитель объясняет, как углы четырёхугольника связаны с дугами, на которые они опираются, и как сумма противоположных углов связана с суммой всех дуг окружности (360�).
Пример: Если ∠A = 70�, то противоположный ему ∠C = 110�.
Признак вписанного четырёхугольника (Обратная теорема): "Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180�, то около него можно описать окружность."
Обсуждение: каждый ли четырёхугольник можно вписать в окружность?
(Только тот, у которого сумма противоположных углов равна 1800. Параллелограмм, ромб — нельзя). Какие из известных нам четырёхугольников всегда можно вписать в окружность? (Прямоугольник, квадрат, равнобедренная трапеция). Почему? (У них сумма противоположных углов равна 180�).
Итак: Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180�.
Патриотический аспект: "Посмотрите на этот фрагмент старинной русской иконы или фрески. Часто нимбы святых изображались в виде окружностей, а фигуры, вписанные в них, или элементы орнамента могли быть четырёхугольниками. Это не просто художественный приём, это отражение гармонии и совершенства, которые стремились передать мастера. Или, например, элементы орнамента на старинных русских избах, где в круглые или полукруглые окна могли быть вписаны узоры, напоминающие четырёхугольники." (Демонстрация соответствующих изображений).
2. Описанный четырёхугольник:
Определение: "Четырёхугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности." (Демонстрация слайда с изображением описанного четырёхугольника).
Свойство описанного четырёхугольника (Теорема): "Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны." (a + c = b + d).
Доказательство (кратко, с опорой на свойство отрезков касательных, проведённых из одной точки).
Пример: Если AB = 5, CD = 7, BC = 6, то AD = ? (5 + 7 = 6 + AD, AD = 6).
Признак описанного четырёхугольника (Обратная теорема): "Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность."
Обсуждение: какие из известных нам четырёхугольников всегда можно описать около окружности? (Ромб, квадрат). Почему? (У них суммы противоположных сторон равны).
Эти 2 признака, как законы, которые объединяют все вписанные и все описанные четырехугольники. Они показывают, что даже в разнообразии есть определенная гармония, определенный порядок.
Патриотический аспект: "Вспомните старинные русские крепости или города. Часто их стены имели форму, близкую к окружности, а внутри располагались здания, площади, улицы, образующие четырёхугольники. Или, например, элементы русской народной вышивки, где в круглые узоры могли быть искусно вписаны ромбы, квадраты или другие четырёхугольники, символизирующие плодородие, защиту, благополучие. Это не просто узоры, это целая система символов, передаваемая из поколения в поколение, где каждая геометрическая форма имеет своё значение и место, создавая гармоничное целое, подобно тому, как стороны описанного четырёхугольника касаются окружности, образуя единую композицию." (Демонстрация соответствующих изображений: фрагменты вышивки, планы старинных крепостей).
V. Первичное закрепление нового материала (10-12 мин)
1. Работа с учебником / раздаточным материалом:
Задание 1 (фронтально):
Определить, является ли четырёхугольник вписанным или описанным, глядя на чертёж. Объяснить свой выбор.
Задание 2 (индивидуально, с последующей проверкой):
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. ∠A = 85�, ∠B = 100�. Найти ∠C и ∠D.
Дан описанный четырёхугольник KLMN. KL = 6 см, LM = 9 см, MN = 7 см. Найти KN.
2. Решение задач с патриотическим подтекстом (работа в группах):
Задача 1 (Вписанный четырёхугольник): "Представьте, что вы – архитекторы, которым поручено создать проект нового мемориального комплекса в честь героев России. Центральная площадь комплекса имеет форму четырёхугольника, который должен быть вписан в круглую аллею. Если два противоположных угла этой площади равны 75� и 105�, а другие два – 90� и 90�, можно ли такую площадь вписать в круглую аллею? Обоснуйте свой ответ." (Ответ: Да, так как 75�+105�=180� и 90�+90�=180�).
Задача 2 (Описанный четырёхугольник): "На гербе одного из старинных русских городов изображён щит в форме четырёхугольника, в который вписана окружность, символизирующая единство и целостность. Если длины трёх сторон этого щита равны 8 см, 12 см и 10 см (в последовательном порядке), найдите длину четвёртой стороны. Какое свойство вы использовали?" (Ответ: Пусть стороны a, b, c, d. a+c = b+d. 8+10 = 12+d. 18 = 12+d. d = 6 см).
Обсуждение решений: Каждая группа представляет своё решение и объясняет использованные свойства.
VI. Физкультминутка (2 мин)
"Ребята, давайте немного отдохнём и представим себя на просторах нашей Родины.
Встали, потянулись, как высокие ели в русском лесу. (Руки вверх, потянуться).
Посмотрели вдаль на бескрайние поля России. (Повороты головы влево-вправо).
Присели, как будто собираем ягоды в лесу. (Приседания).
Покружились, как снежинки в зимнюю метель. (Повороты туловища).
Снова сели за парты, готовые к новым открытиям!"
VII. Применение знаний в нестандартных ситуациях / Решение более сложных задач (8-10 мин)
Задача 3 (индивидуально или в парах): "В городе N планируется строительство нового парка. Один из элементов ландшафтного дизайна – клумба в форме равнобедренной трапеции, которую необходимо вписать в круглую дорожку. Известно, что основания трапеции равны 6 м и 10 м, а боковая сторона – 5 м. Можно ли такую трапецию вписать в окружность? Почему?" (Ответ: Да, равнобедренную трапецию всегда можно вписать в окружность, так как сумма её противоположных углов равна 180�. В данном случае, если трапеция равнобедренная, то углы при каждом основании равны. Пусть углы при большем основании α, а при меньшем β. Тогда α + β = 180�. Противоположные углы будут α и β, их сумма 180�. Или, если использовать свойство, что углы при боковой стороне в сумме дают 180�, то углы при одном основании равны, и углы при другом основании равны, а сумма противоположных углов будет равна сумме углов при боковой стороне, то есть 180�).
Задача 4 (проблемная, для сильных учащихся или для обсуждения):
"На старинной карте Руси изображён город, окружённый четырёхугольной стеной. Внутри этой стены, как утверждают летописи, располагался колодец, к которому вели четыре дороги, касающиеся его по периметру. Если длины этих дорог от углов стены до точек касания с колодцем равны 3, 4, 5 и 6 единиц (в последовательном порядке), то можно ли утверждать, что колодец был идеально круглым и касался всех четырёх дорог? Какое свойство четырёхугольника, описанного около окружности, здесь применимо?" (Ответ: Нет, нельзя. Если бы колодец был идеально круглым и касался всех четырёх дорог, то четырёхугольник, образованный стенами, был бы описанным около окружности. В этом случае суммы противоположных сторон должны быть равны. Пусть отрезки касательных из вершин A, B, C, D равны x, y, z, w соответственно. Тогда стороны четырёхугольника будут (x+y), (y+z), (z+w), (w+x). Сумма противоположных сторон: (x+y) + (z+w) и (y+z) + (w+x). Они равны. Но в задаче даны длины отрезков касательных, а не сторон. Если даны отрезки касательных из вершин, то это не означает, что суммы противоположных сторон будут равны. Если бы были даны длины сторон, например, AB=3+4=7, BC=4+5=9, CD=5+6=11, DA=6+3=9. Тогда AB+CD = 7+11=18, BC+DA = 9+9=18. В этом случае да, можно было бы вписать окружность. Но формулировка задачи про "длины этих дорог от углов стены до точек касания" подразумевает отрезки касательных. Если это отрезки касательных, то пусть они будут a, b, c, d. Тогда стороны четырёхугольника будут (a+b), (b+c), (c+d), (d+a). Суммы противоположных сторон: (a+b)+(c+d) и (b+c)+(d+a). Они всегда равны. Значит, да, можно утверждать, что колодец был идеально круглым и касался всех четырёх дорог, если эти числа 3, 4, 5, 6 – это длины отрезков касательных от вершин до точек касания. Это важный нюанс формулировки).
VIII. Подведение итогов урока. Рефлексия (3-5 мин)
Вопросы к классу:
Что нового вы узнали сегодня на уроке?
Какие четырёхугольники называются вписанными? Описанными?
Назовите признаки и свойства вписанных и описанных четырёхугольников.
Где в окружающем нас мире, в архитектуре, искусстве, символике нашей Родины мы можем встретить примеры вписанных и описанных четырёхугольников?
Как вы думаете, почему так важно изучать геометрию, и как она помогает нам лучше понимать мир вокруг нас, в том числе и нашу историю, культуру?
Рефлексия "Дерево знаний":
Учащимся предлагается на стикерах написать:
Зелёный стикер: "Я всё понял, могу применить знания."
Жёлтый стикер: "Я понял, но есть вопросы, нужна практика."
Красный стикер: "Мне было сложно, нужно ещё раз разобрать тему."
Стикеры прикрепляются к заранее нарисованному на доске "дереву".
Заключительное слово учителя: "Сегодня мы не просто изучали математику, мы прикоснулись к геометрии нашей Родины, увидели, как точные науки переплетаются с историей, культурой, архитектурой. Помните, что знания – это сила, и каждое новое открытие в математике помогает нам глубже понимать мир, в котором мы живём, и ценить то наследие, которое оставили нам предки. Пусть эти знания станут для вас надёжным фундаментом для будущих свершений, во благо нашей великой страны."
IX. Домашнее задание (2 мин)
Обязательное:
Выучить определения, признаки и свойства вписанных и описанных четырёхугольников (по учебнику, параграф X).
Решить задачи № Y, Z (из учебника).
Творческое (по желанию, с патриотическим уклоном):
Найти и сфотографировать (или нарисовать) 3-5 примеров вписанных или описанных четырёхугольников в архитектуре своего города/села, в элементах декора, орнаментах, гербах. Подготовить краткое описание, объясняющее, почему выбранный объект является примером вписанного/описанного четырёхугольника.
Составить одну задачу по теме "Вписанные и описанные четырёхугольники", используя данные, связанные с историей или географией России (например, размеры старинной крепости, элементы герба города и т.д.).
X. Оценивание (по ходу урока и в конце)
Оценивание активности учащихся на всех этапах урока.
Оценивание правильности выполнения заданий.
Оценивание работы в группах.
Комментарии по домашнему заданию.
Приложение 1: Презентация
Слайд 1: Титульный лист. Тема: "Геометрия Родины: Вписанные и описанные четырёхугольники".
Слайд 2: Цели урока.
Слайд 3: Актуализация знаний (вопросы, чертежи).
Слайд 4: Мотивация. Коллаж из изображений: Кремль, купола храмов, гербы, флаг РФ, элементы архитектуры. Вопрос: "Что общего?"
Слайд 5: Определение вписанного четырёхугольника (с чертежом).
Слайд 6: Свойство вписанного четырёхугольника (теорема, доказательство схематично, пример).
Слайд 7: Признак вписанного четырёхугольника (обратная теорема, примеры четырёхугольников, которые всегда можно вписать).
Слайд 8: Патриотический аспект: Иконы, фрески, орнаменты (изображения).
Слайд 9: Определение описанного четырёхугольника (с чертежом).
Слайд 10: Свойство описанного четырёхугольника (теорема, доказательство схематично, пример).
Слайд 11: Признак описанного четырёхугольника (обратная теорема, примеры четырёхугольников, которые всегда можно описать).
Слайд 12: Патриотический аспект: Планы крепостей, русская вышивка (изображения).
Слайд 13: Задания для первичного закрепления (с чертежами).
Слайд 14: Задача 1 (групповая, мемориальный комплекс).
Слайд 15: Задача 2 (групповая, герб города).
Слайд 16: Физкультминутка.
Слайд 17: Задача 3 (индивидуальная/парная, клумба-трапеция).
Слайд 18: Задача 4 (проблемная, старинная карта).
Слайд 19: Рефлексия "Дерево знаний".
Слайд 20: Домашнее задание.
Слайд 21: "Спасибо за урок!"
6