Публикации Устное решение приведённых квадратных уравнений

Всероссийский сборник статей и публикаций института развития образования, повышения квалификации и переподготовки.

Язык издания: русский
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: Устное решение приведённых квадратных уравнений
Автор: Ляпко Лариса Вячеславовна

Устное решение приведённых квадратных уравненийКвадратным уравнением называют уравнение вида ах²+bх+с=0, где х – переменная, коэффициенты а, b, с - некоторые числа, причем, а≠0. Коэффициенты а, b, с различают по названиям: а – первый или старший коэффициент; b – второй или коэффициент при х; с – свободный член, свободен от переменной х. Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.Корнем квадратного уравнения ах²+bх+с=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах²+bх+с обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.Можно сказать и так: корень квадратного уравнения ах²+bх+с=0 – это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство. Решить квадратное уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет.Многие задачи в математике связаны с необходимостью решения квадратных уравнений. Часто при решении одной задачи встречаются несколько таких уравнений, поэтому, полезно знать метод устного решения квадратных уравнений, который не только помогает экономить время, но и развивает навыки в разложении чисел на множители, что бывает полезным при устных вычислениях громоздких арифметических выражений.Наиболее распространено устное решение приведенных квадратных уравнений, но и оно у многих учеников вызывает затруднение из-за отсутствия жёсткого алгоритма действий, особенно в случаях, когда корни имеют разные знаки. Напомню теоретические сведения: Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; т.е. приведенное квадратное уравнение имеет вид: x2 + bx + с = 0. По следствию из теоремы Виета: если х1 и х2 – корни приведенного квадратного уравнения x2 + bx + с = 0, то Отсюда можно сделать следующие выводы:Пример 1. Решить уравнение: x2 – 3x – 18 = 0.Решение: Из всех множителей числа 18 (18 = 18·1 = 9·2 = 6 ·3) выбираем те, разность которых равна 3. Это числа 3 и 6. Перед меньшим числом ставим второй знак уравнений, т.е. «минус». Таким образом, = – 3, = 6 – корни уравнения.Такой алгоритм помогает очень быстро решать уравнения тем учащимся, у которых имеются проблемы с подбором знаков в теореме Виета.Пример 2. Решить уравнение: x2 + 10x – 24 = 0.Решение: Из всех множителей числа 24 (24 = 24·1 = 2·12 = 3·8 = 4·6) выбираем те, разность которых равна 10. Это числа 12 и 2, т.к. 12 – 2 = 10. Перед меньшим числом ставим второй знак уравнений, т.е. «плюс». Таким образом, = 2, = –12 – корни уравнения.Пример 3. Решить уравнение: x2 – 4x – 77 = 0.Решение: Из всех множителей числа 77 (77 = 77·1 = 7·11) выбираем те, разность которых равна 4. Это числа 11 и 7, т. к. 11 – 7 = 4. Так как в уравнении последним знаком является «минус», то корни имеют разные знаки, причём знак меньшего корня совпадает со знаком второго коэффициента. Таким образом, = – 7, = 11 – корни уравнения.Пример 4. Решить уравнение: x2 + 8x – 20 = 0.Решение: Из всех множителей числа 20 (20 = 20·1 = 2·10 = 4·5) выбираем те, разность которых равна 8. Это числа 10 и 2. Перед меньшим числом ставим второй знак уравнений, т.е. «плюс». Таким образом, = 2, = –10 – корни уравнения.Пример 5. Решить уравнение: x2 – 13x – 30 = 0.Решение: Из всех множителей числа 30 (30 = 30·1 = 15·2 = 10·3) выбираем те, разность которых равна числу 13. Это числа 2 и 15, т.к. 15 – 2 = 13. Так как в уравнении последним знаком является «минус», то корни имеют разные знаки, причём знак меньшего корня совпадает со знаком второго коэффициента. Таким образом, = – 2, = 15 – корни уравнения.Задания для самостоятельного решения:1. Решите самостоятельно уравнения:1) x2 – 5x – 14 = 0; 2) x2 + x – 56 = 0; 3) x2 – 7x – 8 = 0. 2. Составьте уравнение, корнями которого являются числа:1) 6 и – 7; 2) 13 и – 9; 3) – 1 и 24; 4) – 5 и 4.3. Составьте четыре произвольных уравнения с целыми корнями, имеющими разные знаки.Пример 6. Решить уравнение: x2 – 8x + 15 = 0.Решение: Из всех множителей числа 15 (15 = 15·1 = 5·3) выбираем те, сумма которых равна числу 8. Это числа 5 и 3, т.к. 3 + 5 = 8. Так как в уравнении последним знаком является «плюс», то корни уравнения имеют одинаковые знаки, противоположные второму знаку. Таким образом, = 3, = 5 – корни уравнения.Пример 7. Решить уравнение: x2 – 7x + 10 = 0.Решение: Из всех множителей числа 10 (10 = 10·1 = 5·2) выбираем те, сумма которых равна числу 7. Это числа 5 и 2, т.к. 2 + 5 = 7. Так как в уравнении последним знаком является «плюс», то оба корня имеют одинаковые знаки, противоположные второму знаку уравнения. Таким образом, = 2, = 5 – корни уравнения.Пример 8. Решить уравнение: x2 + 7x + 12 = 0.Решение: Из всех множителей числа 12 (12 = 12·1 = 6·2 = 3·4) выбираем те, сумма которых равна числу 7. Это числа 3 и 7, т.к. 3 + 4 =7. Так как в уравнении оба знака «плюс», то корни уравнения будут иметь отрицательный знак. Таким образом, = – 3, = – 4 – корни уравнения.Пример 9. Решить уравнение: x2 + 9x + 14 = 0.Решение: Из всех множителей числа 14 (14 = 14·1 = 7·2) выбираем те, сумма которых равна числу 9. Это числа 2 и 7, т.к. 2 + 7 = 9. Так как в уравнении оба знака «плюс», то корни уравнения будут иметь отрицательный знак. Таким образом, = – 2, = – 7 – корни уравненияЗадания для самостоятельного решения:1. Решите самостоятельно уравнения:1) x2 – 11x + 24 = 0; 2) x2 + 4x + 3 = 0; 3) x2 – 17x + 30 = 0. 2. Составьте уравнение, корнями которого являются числа:1) 5 и 7; 2) 11 и 8; 3) – 1 и – 6; 4) – 20 и – 4 .