Публикации Математическое моделирование, как метод педагогической диагностики логического развития обучающихся основной школы

Всероссийский сборник статей и публикаций института развития образования, повышения квалификации и переподготовки.

Скачать публикацию

Язык издания: русский
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: Математическое моделирование, как метод педагогической диагностики логического развития обучающихся основной школы
Автор: Новоселова Наталья Афанасьевна

Новоселова Наталья Афанасьевна, учитель математики МБОУ «Сорская СОШ №3 с УИОП», г. Сорск, Республика Хакасия Математическое моделирование, как метод педагогической диагностики логического развития обучающихся основной школыАннотация. Статья посвящена актуальной теме универсальности «математического инструмента», ключ к решению многих научных задач – их удачный перевод на язык математики. Рассматривается межпредметная связь математики с физикой, химией, астрономии, биологии, географии, экономики и истории.Ключевые слова: математический язык, математическая модель, прикладная задача, выражения, формулы, уравнения, неравенства.Наверное, нет сегодня такой области знаний, где бы не применялись достижения математики. Физики и химики, астрономы и биологи, географы и экономисты, даже языковеды и историки используют математический аппарат.В чем же секрет универсальности «математического инструмента»? Ответ очевиден: ключ к решению многих научных задач — их удачный перевод на язык математики.Действительно, формулировки задач из разных областей знаний содержат нематематические понятия. Если математик участвует в решении такой задачи, то он в первую очередь стремится перевести её на «родной», математический язык, т. е. язык выражений, формул, уравнений, неравенств, функций, графиков и т. д. Результат такого перевода называют математической моделью, а саму задачу — прикладной задачей.Термин «модель» (от лат. modulus — «образец» мы употребляем очень часто: модель самолёта, модель атомного ядра, модель Солнечной системы, модель какого-то процесса или явления и т. п. Изучая свойства модели объекта, мы тем самым изучаем свойства самого объекта.Область математики, которая занимается построением и изучением математических моделей, называют математическим моделированием.В таблице 1 приведены образцы прикладных задач и соответствующих им математических моделей. Таблица 1Цель решения любой задачи — получить верный ответ. Поэтому составление математической модели — это только первый этап решения прикладной задачи.Решение прикладной задачи состоит из трёх этапов. 1) Построение математической модели.2) Решение математической задачи.3) Анализ полученного результата, исходя из содержания прикладной задачи. Первый этап иллюстрируют приведённые выше примеры. Заметим, что успешная реализация этого шага требует определённых знаний в области, к которой относится данная прикладная задача.Реализация второго этапа связана с математической деятельностью: нахождение значений выражений, решение уравнений, неравенств и их систем, построение графических объектов и т. п.На третьем этапе полученный результат надо записать на языке прикладной задачи. Поясним это, обратившись к приведённой таблице. Например, ответы к первой, второй, третьей задачам надо записать так: можно купить о кг картофеля; покупку можно осуществить 6 способами; на стоянке было 7 автомобилей. Далее ответ следует проанализировать на соответствие условию прикладной задачи. Например, ответ «1,5 ученика» не может быть приемлемым ни для одной прикладной задачи.Рассмотрим задачу, в которой уравнение с одной переменной является математической моделью реальной ситуации.Пример 1. Масса деревянной балки составляет 120 кг, а масса железной балки — 140 кг, причём железная балка на 1 м короче деревянной. Какова длина каждой балки, если масса 1 м железной балки на 5 кг больше массы 1 м деревянной?Решение. В решении задачи выделим три этапа.I этап. Построение математической модели.Пусть длина деревянной балки равна х м, тогда длина железной составляет (х -1) м. Масса 1 м деревянной балки равна кг, а масса 1 м железной - кг. Тогда разность показывает, на сколько масса 1 м железной балки больше массы 1 м деревянной балки. По условию задачи эта разность равна 5 кг. Тогда получаем уравнение . Это уравнение и является математической моделью данной прикладной задачи. II этап. Решение уравнения.Имеем: 28х-24(х-1)=х2-х х х х2-5х-24=0 х х х = 8 или х = -3 III этап. Анализ результата, полученного на II этапе, исходя из содержания прикладной задачи.Корень – 3 не удовлетворяет условию задачи, поскольку такая величина, как длина, не может выражаться отрицательным числом. Следовательно, длина деревянной балки равна 8м, а длина железной – 7м.Ответ: 8м, 7м. При оформление решении задач, подобных той, которую мы рассмотрели в примере 1, необязательно явна выделять три этапа решения прикладной задачи. Важно, чтобы эти этапы были реализованы в процессе решения. В следующих трёх задачах математической моделью реальной ситуации является система двух уравнений с двумя переменными. Пример 2. От станции М в направлении станции №, расстояние между которыми равно 450 км, отправился скорый поезд. Через 3 часа после этого от станции № в направлении станции М отправился товарный поезд, который встретился со скорым через 3ч после своего выхода. Скорый поезд преодолевает расстояние между станциями М и № на 7ч 30мин. Быстрее, чем товарный. Найти скорость каждого поезда.Решение: Пусть скорость скорого поезда равна х км/ч, а скорость товарного поезда у км/ч. до встречи скорый поезд проехал 6х км, до встречи товарный поезд проехал 3у км. Тогда получим уравнение 6х+3у = 450. Расстояние между станциями М и № скорый поезд проедет а товарный поезд проедет . Тогда получим уравнение: Получаем систему уравнений: 2х+у=150 у=150-2х у=150-2х60х-60у = ху60х-60(150-2х) = х (150-2х)60х-9000+120х=150х-2х260х-9000+120х-150х+2х2=0180х-9000-150х+2х2=02х2+30х-9000=0х2+15х-4500=0 – скорость скорого поезда - не является решением задачиСледовательно: у=150-2х=150-2 60=150-120=30км/ч - скорость товарного поезда.Ответ: 60км/ч и 30 км/ч Пример 3. Две бригады, работая вместе могут выполнить производственное задание за 8 дней. Если первая бригада, работая самостоятельно, выполнит задания, а затем её сменит вторая бригада, то задание будет выполнено за 20 дней. За сколько дней каждая бригада может выполнить данное производственное задание, работая самостоятельно?Решение: Пусть 1 бригада может выполнить задание за х дней, а 2 бригада может выполнить задание за у дней. 1 бригада за 8 дней выполнит часть задания, а 2 бригада за 8 дней выполнит часть задания. Получим уравнение: 1 бригада часть задания выполнит за дней, 2 бригада оставшуюся часть задания выполнит за дней. Получим уравнение: .Получим систему уравнений: 8у+8х = ху 8х+8у – ху = 0 х+ 2у = 60 х = 60-2у8(60-2у)+8у-(60-2у) у = 0480-16у+8у-60у+2у2 = 02у2-68у+480 = 0у2-34у+240 = 0х1 = 60-2у = 60-224 = 12 дней – задание выполнит 2 бригадах2 = 60-2у = 60-210 = 40 дней – задание выполнит 2 бригадаОтвет: 12 и 24 дня или 40 и 10 дней.Пример 4. В двух сплавах массы меди и цинка относятся как 5:2 и 3:4. Сколько килограммов первого сплава и сколько килограммов второго надо взять, чтобы, переплавив их, получить 28кг нового сплава с равным содержанием меди и цинка. Решение: Пусть масса 1 сплава – х кг, а масса 2 сплава – у кг, тогда получим уравнение х+у = 28. 1 сплаве меди - цинка в 1 сплаве - .Получим уравнение: Получаем систему уравнений: х+у = 28 х+у = 28 5х+ 3у = 2х+4у 5х-2х = 4у-3ух+ у = 283х = ух + 3х = 284х = 28 х = 7 кг – масса 1 сплава у = 3х = 37 = 21 кг – масса 2 сплава Ответ: 7кг и 21 кг Библиографический список1. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра. 9 класс. Москва. Издательский центр «Вентана граф», 2014. С. 136-145.2. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Прохоров Ю.В.. – М: Сов.Энциклопедия, 1988. С. 8473. Безручко Б. П., Смирнов Д. А. . — Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005.4. Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Н. Г. — 3-е изд., испр. и доп. — М.:, 2006. С. 376 5. Введение в математическое моделирование. Учебное пособие. Под ред. П. В. Трусова. — М.: Логос, 2004.