Публикации ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ (ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ КОМПЛЕКСНОГО КОРНЯ)

Всероссийский сборник статей и публикаций института развития образования, повышения квалификации и переподготовки.

Язык издания: русский
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ (ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ КОМПЛЕКСНОГО КОРНЯ)
Автор: Сырбу Диана Аркадьевна

УДК 519.17Шевцова Мария Витальевнак.ф.-м.н., доцент кафедры математикиБелгородский государственный университетБелгородShevtsova Maria Vitalievna Belgorod UniversityСырбу Диана Аркадьевна студентБелгородский государственный университетБелгородSyrbu Diana ArkadyevnaBelgorod Universitydi.syrbu2016@yandex.ruОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ (ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ КОМПЛЕКСНОГО КОРНЯ)THE BASIC THEOREM OF ALGEBRA (THE THEOREM ON THE EXISTENCE OF A COMPLEX ROOT)Аннотация: В статье рассматривается формулировка и доказательство основной теоремы алгебры (теорема о существовании комплексного корня). Утверждение о том, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть что всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. Статья может быть полезна студентам и исследователям, изучающим алгебру.Abstract: The article considers the formulation and proof of the main theorem of algebra (the theorem on the existence of a complex root). The statement that the field of complex numbers is algebraically closed, that is, that every polynomial other than a constant (from one variable) with complex coefficients has at least one root in the field of complex numbers. The article may be useful for students and researchers studying algebra.Ключевые слова: комплексное число, основная теорема алгебры, многочлен, комплексный корень, выражение, формулировка, доказательство, функция.Keywords: complex number, basic theorem of algebra, polynomial, complex root, expression, formulation, proof, function.Формулировка основной теоремы алгебры и её доказательство.Теорема (основная теорема алгебры — ОТА). Всякий многочлен положительной степени с комплексными коэффициентами ( имеет хотя бы один комплексный корень, т. е. всегда найдется такое число , что . [1, С. 309]Доказательство. Прежде всего сведем изучение корней многочлена , как комплексной функции комплексного переменного , к изучению корней (нулей) действительной функции комплексного переменного.Точки , представляются как точки, в которых достигается наименьшее значение (равное нулю) для действительной функции . В этих точках поверхность-график (расположенная в верхнем полупространстве трехмерного пространства с координатами , где , достигает горизонтальной плоскости .Рассмотрим точную нижнюю грань (минимум) значений функции : .Неотрицательность рассматриваемой функции влечет существование и неотрицательность числа . Далее установим, что минимум достигается в некоторой точке , т. е. является наименьшим значением функции.Далее докажем лемму о возрастании модуля многочлена.Лемма 1 (о возрастании модуля многочлена). Рассмотрим многочлен с комплексными коэффициентами положительной степени. Если последовательность комплексных чисел такова, что (в поле ), то и (в поле ).Доказательство. Подчеркнем прежде всего, что в формулировке леммы речь идет о сходимости к бесконечности последовательностей действительных чисел. (Так, сходимость к ∞ первой из последовательностей означает, что ее члены , начиная с некоторого номера, становятся больше любого наперед заданного положительного числа. Это равносильно сходимости к нулю последовательности )..Исследуем поведение последнего из выражений в цепочке при . Сумма в круглых скобках содержит дробей с постоянными (неотрицательными) числителями и со знаменателями, стремящимися к . Значит, каждая из дробей стремится к нулю и все выражение в круглых скобках также стремится к нулю. Следовательно, выражение в квадратных скобках стремится к положительной константе . Перед квадратными скобками стоит множитель , стремящийся к . Следовательно, и все (последнее в цепочке) выражение стремится к . А с ним вместе и .Вторым этапом установим Лемму Д'Аламбера, в которой утверждается, что если в некоторой точке значение многочлена отлично от нуля (и следовательно, , то найдется такая точка , что .Далее заметим, что наименьшее значение , достижимость которого установлена в лемме Д'Аламбера, не может быть положительным, ибо это противоречило бы этой лемме.Этим доказательство завершается: точка , в которой достигается инфинум значений модуля данного многочлена, должна быть корнем этого многочлена. [1, C. 310]Заключение В связи с существованием комплексных чисел можно утверждать, что любое уравнение имеет хотя бы один корень, рациональный, действительный или комплексный.Список литературы:

Н.И. Яцкин Алгебра : Теоремы и алгоритмы : учеб. пособие / Н. И. Яцкин. — Иваново : Иван. гос. ун-т, 2006. — 506 с.

Сборник задач по алгебре. Часть 1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства. В помощь учащимся 10–11-х классов/ О.В. Нагорнов, А. В. Баскаков, О. Б. Баскакова, С. А. Гришин, А. Б. Костин, Р. Р. Резванов, Д. С. Теляковский. – М.: НИЯУ МИФИ, 2009. – 156 с.

Т. В. Родина Комплексные числа. Учебно-методическое пособие. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2009. – 30с.

Куликова Л. Б. Поторочина К.С. Комплексные числа. Сборник типовых заданий. URL: