Публикации "Красивая многофигурная стереометрическая задача, как исследовательская работа"

Всероссийский сборник статей и публикаций института развития образования, повышения квалификации и переподготовки.

Язык издания: русский
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: "Красивая многофигурная стереометрическая задача, как исследовательская работа"
Автор: Лебедева Надежда Александровна

«Красивая» многофигурная стереометрическая задача, как исследовательская работа.Геометрия в целом, как метод научного познания, способствует развитию мышления, формирует навыки дедуктивных рассуждений. Основным методом решения геометрических задач на вычисление и доказательство следует считать аналитический метод, имеющий две разновидности: метод поэтапного решения, который заключается в том, что последовательно вычисляются объемы в комбинации правильных тел, выраженные через одну из известных величин. Геометрические задачи настолько разнообразны, что невозможно дать указания к решению всех задач. На мой взгляд красивая и интересная задача, которая не встречаются в школьном курсе геометрии рассматривается с этой статье. Но для их решения не требуется сложных рассуждений и дополнительных знаний. Данная задача считается многофигурной, так как в ней рассматривается комбинация трёх тел. В данной задаче показана «красивая связь» объемов в комбинации трех геометрических тел.Задача. Если в сферу вписать равносторонний цилиндр и равносторонний конус, то объем цилиндра будет равен среднему геометрическому между объемами сферы (шара) и конуса. Даже для вписанной в равносторонний цилиндр и равносторонний конус сферы это равенство сохраняется. Разве не интересный факт! На языке формул это выглядит так: Vц= Наше исследование будет заключаться в проверке этого равенства.Решение

Докажем равенство для вписанных в сферу цилиндра и конуса.

Для доказательства достаточно сделать осевые сечения комбинации наших «круглых тел». Выразим каждый из объемов через радиус сферы. Сама формула, связывающая эти объемы интересный факт.Вводим обозначенияR-радиус шараH-высота конусаh-высота цилиндраx-радиус конусаc –сторона квадратаa –сторона правильного треугольника

a= R c = R

х=πх2H x= = H= = Vк = π(2 = πа3 = π = π R3Vш = π R3Vц=πr2h=c= = = = =Vц=

Докажем равенство для описанных около шара тел

H=3R (Высота в правильном треугольнике является медианой и делится в отношении 2:1 считая от вершины)a= a= R Vк=πх2H Vк=π(R2H Vш = π R3c=2R, h= 2R Vц = πR 2 h Vц = πR 2 === VцВ своей работе мы еще раз обратились к «круглым геометрическим телам» или телам вращения, рассмотрели их осевые сечения, формулы для вычисления объемов этих тел. Кроме того мы убедились, что в комбинации этих тел получаются красивые формулы зависимости их объемов. Мы доказали, что формула, связывающая три объема Vц шара (сферы) сохраняется как для вписанных в нее тел, так и для или описанных. Даже в формуле называется понятие среднего геометрического! Так и хочется закончить немного перефразированными словами А.С. Пушкина: О, сколько нам открытий чудных Готовит просвещенья дух…Основными источниками для решения задачи служат учебники геометрии учебник геометрии Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева, Л.С. Киселевой, Э.Г. Поздняка и методическое пособие для студентов И.С. Безверхней. В них изложены основные теоретические основы курса стереометрии. В методичке И.С. Безверхней даны теоремы для обоснования построения стереометрических фигур и методы их правильного изображения. Кроме того, рассмотрены некоторые случаи решения многофигурных стереометрических задач на комбинацию многогранников, предложены задачи для решения.