Публикации Пределы использования нейросетей в обучении математике: от предсказания к доказательству

Всероссийский сборник статей и публикаций института развития образования, повышения квалификации и переподготовки.

Язык издания: русский
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: Пределы использования нейросетей в обучении математике: от предсказания к доказательству
Автор: Галимуллин Динар Ильдарович

Пределы использования нейросетей в обучении математике: от предсказания к доказательствуАннотацияВ статье рассматриваются возможности и ограничения больших языковых моделей (ChatGPT, GigaChat, YandexGPT) при решении задач школьного курса алгебры и геометрии. Показано, что нейросети оперируют не вычислениями, а вероятностным предсказанием последовательностей токенов, что принципиально отличает их работу от математического мышления человека. На конкретных примерах демонстрируются типовые ошибки нейросетей (галлюцинации) в доказательствах, задачах с нестандартными условиями и геометрических конфигурациях. Делается вывод: нейросети могут быть эффективным дидактическим инструментом, но не заменяют формирование математической компетентности.Ключевые слова: искусственные нейронные сети, большие языковые модели, обучение математике, алгебра, геометрия, математическое мышление, доказательство, границы применимости.1. ВведениеС начала массового доступа к большим языковым моделям (LLM) учителя математики столкнулись с новым вызовом: ученики начали использовать нейросети для решения домашних заданий и подготовки к контрольным работам. Возник закономерный вопрос: а нужна ли теперь математика, если нейросеть решает уравнение за три секунды и даже выдаёт «объяснение»?Ответ требует различения двух принципиально разных процессов: вычисления (как его понимает математика) и предсказания (как работает LLM). В данной статье я покажу на конкретных примерах, что нейросеть не считает, а предсказывает, и почему это различие критично для обучения.2. Как нейросеть «решает» математическую задачу: принципиальное устройствоБольшая языковая модель не имеет встроенного калькулятора, не оперирует числами как величинами и не понимает логических связей. Её работа сводится к предсказанию следующего токена (слова, знака, части числа) на основе вероятностного распределения, полученного при обучении на миллиардах текстов.Когда ученик вводит задачу: «Решите уравнение 2x + 5 = 13», нейросеть не решает его в математическом смысле. Она генерирует последовательность символов, которая с наибольшей вероятностью следует за условием, судя по обучающей выборке. Если она «видела» похожую задачу и правильное решение тысячи раз — она его воспроизведёт. Если нет — начнёт комбинировать, и результат может быть любым.Это принципиальное ограничение: нейросеть не проверяет истинность, она оценивает правдоподобие.3. Что нейросеть действительно может в алгебреВ моей практической работе я тестировал ChatGPT (версия 3.5 и 4) и GigaChat на типовых задачах 7–9 классов.Алгебра, типовые задачи:

линейные и квадратные уравнения — решает уверенно, ошибки редки;

системы двух линейных уравнений — решает, объясняет шаги;

упрощение рациональных выражений — справляется, но громоздкие выражения иногда упрощает с ошибкой;

текстовые задачи на составление уравнения — решает шаблонные (про движение, про проценты), но с нестандартными условиями «теряется».

Вывод по алгебре: для типового тренировочного материала нейросеть — хороший генератор и быстрый помощник.4. Где нейросеть начинает ошибаться: алгебраические границыПриведу пример из реальной проверки. Задача: *«Найдите все целые решения неравенства (x² − 5x + 6) / (x − 2) > 0»*.ChatGPT 3.5 сократил дробь на (x − 2), забыв про ОДЗ (x ≠ 2), и получил неверный промежуток. На замечание о том, что x = 2 не входит в ОДЗ, нейросеть «извинилась» и исправила ответ, но сама ошибка — типичная галлюцинация.Важно: нейросеть не поняла смысл ОДЗ. Она просто воспроизвела распространённую ошибку, которая встречается в ученических решениях в обучающей выборке. А значит, ученик, не понимающий ОДЗ, эту ошибку не заметит.Вывод: доверять нейросети без проверки — опасно. Особенно там, где нужен учёт ограничений и условий.5. Геометрия: слабое место нейросетейГеометрические задачи — «ахиллесова пята» LLM. Причина проста: нейросеть не видит чертёж. Она работает только с текстовым описанием, а геометрия — это пространство, визуальное воображение, соотношение элементов на рисунке.Тест: задача 7 класса: «В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана BM. Найдите угол ABM, если угол ABC равен 80°».ChatGPT дал ответ 40°, объяснив, что медиана в равнобедренном треугольнике является биссектрисой. Это верно, но он не проверил, что именно угол ABM — это половина угла ABC? Нет, он механически применил правило, не построив чертёж. Угол ABM действительно 40°, но объяснение было поверхностным.Однако при изменённом условии (медиана проведена к боковой стороне) нейросеть начала путаться и дала неверные соотношения.Вывод: в геометрии нейросеть — ненадёжный помощник. Она не может проверить чертёж, не чувствует конфигурацию, не различает «левую» и «правую» сторону симметрии.6. Доказательства и нестандартные задачиСамый высокий уровень математической деятельности — доказательство. Здесь нейросеть почти бесполезна.Пример задачи: «Докажите, что произведение четырёх последовательных целых чисел, увеличенное на 1, является точным квадратом».ChatGPT дал алгебраическое преобразование: n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = (n²+3n+1)². Это верно. Но нейросеть не провела доказательство, она воспроизвела известное тождество из выборки. Если бы задача была нестандартной (например, с изменённым условием), нейросеть бы просто сгенерировала правдоподобные преобразования, которые могли бы оказаться неверными.В педагогическом плане это опасно: ученик получает красивый ответ, но не учится доказывать. Он учится пользоваться нейросетью как чёрным ящиком.7. Педагогические следствияЧто это означает для учителя?

Не запрещать, а учить проверять. Нейросеть — инструмент. Ученик должен уметь проверить её ответ другим способом (подстановкой, построением чертежа, логическим анализом).

Использовать нейросеть как генератор ошибок. Замечательный приём: дать ученику решение, сгенерированное нейросетью (с ошибкой), и попросить найти ошибку. Это развивает критическое мышление.

Различать типовые и нестандартные задачи. Нейросеть полезна для тренировки навыка на типовых примерах. Для развития мышления нужны живые уроки с доказательствами и задачами, где ответ неочевиден.

Не доверять геометрию нейросети. Чертежи, конфигурации, пространственное воображение — область, где компьютер пока уступает человеку.

8. ЗаключениеНейросети не считают, они предсказывают. Это не плохо и не хорошо — это их природа. Они эффективны там, где задача типична и массово представлена в обучающих данных. Они беспомощны там, где нужна логическая проверка, учёт неявных условий, работа с чертежом или нестандартное доказательство.Математика в школе нужна не для того, чтобы научить решать квадратные уравнения (это нейросеть сделает быстрее). Математика нужна для развития способности рассуждать, проверять, доказывать и отличать верное от правдоподобного.Нейросеть — помощник. Но она не замена мышлению.БлагодарностиАвтор выражает благодарность ученикам, которые своими вопросами «зачем учить математику, если есть нейросеть?» спровоцировали этот текст.Список литературы

Vaswani A. et al. Attention is all you need // Advances in neural information processing systems. – 2017.

Боровских А.В., Розов Н.Х. Деятельностный подход в обучении математике // Вестник Московского университета. – 2020.

Wolfram S. ChatGPT gets its "wolfram superpowers" // Stephen Wolfram Writings. – 2023.

Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования (приказ Минпросвещения РФ № 287 от 31.05.2021).